概率论原理精解【3】

文章目录

向量值
- 向量值函数导数
- 向量值函数
- - 定义
  - 性质
  - 应用
  - 示例
- 向量值函数的导数
- - 定义
  - 性质
  - 应用

向量值

向量值函数导数

$D^R \subset R^n,向量值函数f:D^n\rightarrow R^m$
$复合函数f_i:\pi_i \circ f,i=1,2,...,m \\其中：\pi_i:R^m\rightarrow R,x \rightarrow x_i为坐标映射。 \\1.f=(f_1,f_2,...f_m)^T，称f_i为坐标函数 \\f_i:D^n \rightarrow R的导数定义为： \\f_i'(x)=\frac d {dx}f_i(x)=(\frac {\partial} {\partial x_1}f_i(x),\frac {\partial} {\partial x_2}f_i(x),....\frac {\partial} {\partial x_n}f_i(x))$

向量值函数

向量值函数是数学中的一个重要概念，特别是在多元微积分和向量分析中。它是指一个函数，其输出是一个向量，而不是一个单一的标量值。这种函数通常用于描述在多维空间中随时间或其他变量变化的量。

定义

向量值函数可以定义为：

$\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$

其中， $t$ 是一个实数变量（通常是时间），而 $x (t)$ 、 $y (t)$ 和 $z (t)$ 是关于 $t$ 的三个实值函数，分别表示向量在三维空间中的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 分量。

性质

向量值函数具有一些重要的性质，包括：

可加性：如果 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{s}(t)$ 是两个向量值函数，则它们的和 $\mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t)$ 也是一个向量值函数，其分量为对应分量之和。
数乘：对于任意实数 $k$ ， $k\mathbf{r}(t)$ 也是一个向量值函数，其分量为原函数分量的 $k$ 倍。
导数：向量值函数关于其变量的导数（如果存在）是一个新的向量值函数，其分量为原函数各分量关于该变量的导数。
积分：向量值函数也可以进行积分运算，得到的结果是一个向量值函数（定积分）或一个向量场（不定积分或曲线积分）。

应用

向量值函数在物理学、工程学、计算机科学和经济学等多个领域都有广泛的应用。以下是一些例子：

物理学：在物理学中，向量值函数常用于描述质点的位置、速度、加速度等物理量。例如，质点的位置随时间变化的函数就是一个向量值函数。
工程学：在工程学中，向量值函数可用于描述机械系统的位移、速度、加速度以及力、力矩等物理量。此外，它们还用于分析电路中的电流和电压等。
计算机科学：在计算机图形学和动画中，向量值函数用于描述物体的运动轨迹、旋转和变形等。
经济学：在经济学中，向量值函数可用于描述多个经济变量的变化关系，如供需关系、价格变动等。

示例

考虑一个简单的例子，一个质点在三维空间中沿直线运动，其位置随时间变化的函数为：

$\mathbf{r}(t) = \langle t, 2t, 3t \rangle$

这个向量值函数表示质点在 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 方向上的位移分别是 $t$ 、 $2 t$ 和 $3 t$ 。对这个函数求导，我们得到质点的速度向量：

$\mathbf{r}^{\prime}(t) = \langle 1, 2, 3 \rangle$

这表明质点在每个方向上的速度都是恒定的，且速度向量与 $t$ 无关。

向量值函数的导数

也称为向量函数的导数或向量场的导数，是多元微积分中的一个重要概念。它描述了向量值函数如何随着其输入变量的变化而变化。

定义

设有一个向量值函数 $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$ ，其中 $t$ 是实数变量， $x (t)$ 、 $y (t)$ 和 $z (t)$ 是关于 $t$ 的实值函数。向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 的导数定义为：

$\mathbf{r}^{\prime}(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$

这可以进一步展开为：

$\mathbf{r}^{\prime}(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{\langle x(t + \Delta t), y(t + \Delta t), z(t + \Delta t) \rangle - \langle x(t), y(t), z(t) \rangle}{\Delta t}$

$\lim_{{\Delta t \to 0}} \left\langle \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}, \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}, \frac{z(t + \Delta t) - z(t)}{\Delta t} \right\rangle$

$\langle x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t) \rangle$

其中 $x^{\prime}(t)$ 、 $y^{\prime}(t)$ 和 $z^{\prime}(t)$ 分别是 $x (t)$ 、 $y (t)$ 和 $z (t)$ 关于 $t$ 的导数。

性质

线性性：如果 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{s}(t)$ 是向量值函数，且 $a$ 和 $b$ 是常数，则

$(a\mathbf{r} + b\mathbf{s})^{\prime}(t) = a\mathbf{r}^{\prime}(t) + b\mathbf{s}^{\prime}(t)$
乘积法则（对于标量函数和向量值函数的乘积）：如果 $f (t)$ 是标量函数， $\mathbf{r}(t)$ 是向量值函数，则

$(f\mathbf{r})^{\prime}(t) = f^{\prime}(t)\mathbf{r}(t) + f(t)\mathbf{r}^{\prime}(t)$

注意，这里的乘积是标量与向量的乘积，结果仍为向量。
链式法则：如果 $u = g (t)$ 是一个可微函数，且 $\mathbf{r}(u)$ 是一个向量值函数，则复合函数 $\mathbf{r}(g(t))$ 的导数为

$\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)) = \mathbf{r}^{\prime}(g(t)) \cdot g^{\prime}(t)$

其中 $\mathbf{r}^{\prime}(g(t))$ 是向量值函数在 $g (t)$ 处的导数，而 $g^{\prime}(t)$ 是 $g (t)$ 的导数，这里的乘法是标量与向量的乘法。