微分求解问题之乘法法则、商法则和链式求导法则

微分求解问题常用的三个基本法则是乘积法则、商法则和链式求导法则。下面是它们的公式和一些例子：

乘积法则

乘积法则用于求两个函数的乘积的导数。假设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可微函数，则它们乘积的导数是：
$$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

示例

设 $u(x)=x^2$，$v(x)=e^x$，则
$$(x^2{e}^x{)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }{e}^x+x^2(e^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x)$$

商法则

商法则用于求两个函数的商的导数。假设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可微函数，且 $v(x)\ne 0$，则它们商的导数是：
$${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$$

示例

设 $u(x)=x^2$，$v(x)=e^x$，则
$${\left(\frac{x^2}{e^x}\right)}^{\prime }=\frac{(x^2{)}^{\prime }{e}^x-x^2(e^x{)}^{\prime }}{e^{2x}}=\frac{2x{e}^x-x^2{e}^x}{e^{2x}}=\frac{e^x(2x-x^2)}{e^{2x}}=\frac{2x-x^2}{e^x}$$

链式求导法则

链式求导法则用于求复合函数的导数。假设 $y=f(g(x))$，其中 $f$ 和 $g$ 都是可微函数，则
$$y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

示例

设 $f(x)=\sin x$，$g(x)=x^2$，则 $y=\sin (x^2)$，
$$y^{\prime }=\frac{d}{dx}\sin (x^2)=\cos (x^2)\cdot \frac{d}{dx}{x}^2=\cos (x^2)\cdot 2x=2x\cos (x^2)$$

组合应用

设 $h(x)=\frac{x^2\sin x}{e^x}$，使用以上法则求导：

1. 先用商法则：
   $$h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},u(x)=x^2\sin x,v(x)=e^x$$
   $$h^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$$

2. 再用乘积法则求 $u(x)$ 的导数：
   $$u^{\prime }(x)=(x^2\sin x{)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\sin x+x^2(\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$$

3. $v(x)=e^x$ 的导数是：
   $$v^{\prime }(x)=e^x$$

4. 合并结果：
   $$h^{\prime }(x)=\frac{(2x\sin x+x^2\cos x)e^x-x^2\sin x\cdot e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x(2x\sin x+x^2\cos x-x^2\sin x)}{e^{2x}}=\frac{2x\sin x+x^2\cos x-x^2\sin x}{e^x}=\frac{x\sin x+x^2\cos x}{e^x}$$

这样，我们就利用乘积法则、商法则和链式求导法则对复合函数进行了求导。