最小生成树(算法篇)

算法之最小生成树

最小生成树

概念：

最小生成树是一颗连接图G所有顶点的边构成的一颗权最小的树，最小生成树一般是在无向图中寻找。
最小生成树共有N-1条边(N为顶点数)。

算法：

Prim算法

概念：

Prim(普里姆)算法是生成最小生成树的一种算法，该算法基本上和求最短路径的Dijkstra算法一样
具体操作：选取一个顶点作为树的根节点v1，然后从这个顶点发散，找到其邻接顶点(加入队列中)，然后选取根节点到邻接顶点中权最小的路径(也就是连接该路径的另一个顶点)进行添加到树中(也将连接的顶点除去v1的顶点的邻接顶点加入队列中)，然后初步形成一个图为u，然后再按顺序的查找图u与队列中的顶点的最小路径并加入树中，重复操作。
最小生成树信息打印，打印树中边的顶点对组。

实现代码：

使用优先队列

void Prim(int v){an[v].dist=0;//使用优先队列,定义参数<数据类型，容器类型，比较方法>priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>>q;//pair<int,int>对组的第一个为权，第二个为顶点。q.push(make_pair(0,v));while (!q.empty()){int w=q.top().second;q.pop();listnode* p=an[w].next;if(an[w].flag) continue;while (p!= nullptr){//选取最小权的边而不是顶点到顶点的最短距离if(p->weight<an[p->data].dist&&!an[p->data].flag){an[p->data].dist=p->weight;an[p->data].path=w;q.push(make_pair(p->weight,p->data));}p=p->next;}an[w].flag= true;}int w=0;     //记录最小生成树的总权for(int i=1;i<=vnum;i++){if(an[i].path!=0){if(i>an[i].path)cout<<"("<<an[i].path<<","<<i<<")"<<" 权:"<<an[i].dist<<endl;elsecout<<"("<<i<<","<<an[i].path<<")"<<" 权:"<<an[i].dist<<endl;w+=an[i].dist;}}cout<<"总权:"<<w;cout<<endl;}

使用vector容器模拟优先队列

struct edge{int v;    //顶点int weight;   //权
};
static bool cmp(const edge &a,const edge &b){return b.weight<a.weight;}void Prim(int v){an[v].dist=0;vector<edge>q;q.push_back({v,0});while (!q.empty()){sort(q.begin(),q.end(),cmp);int w=q.back().v;q.pop_back();listnode* p=an[w].next;if(an[w].flag) continue;while (p!= nullptr){//选取最小权的边而不是顶点到顶点的最短距离if(p->weight<an[p->data].dist&&!an[p->data].flag){an[p->data].dist=p->weight;an[p->data].path=w;q.push_back({p->data,p->weight});}p=p->next;}an[w].flag= true;}int w=0;     //记录最小生成树的总权for(int i=1;i<=vnum;i++){if(an[i].path!=0){if(i>an[i].path)cout<<"("<<an[i].path<<","<<i<<")"<<" 权:"<<an[i].dist<<endl;elsecout<<"("<<i<<","<<an[i].path<<")"<<" 权:"<<an[i].dist<<endl;w+=an[i].dist;}}cout<<"总权:"<<w;cout<<endl;}

Kruskal算法

概念：

Kruskal(克鲁斯卡尔)算法是连续地按照最小的权选择边，并且当所选的边不产生圈时就把它作为最小生成树中的边。
该算法是在处理一个森林–树的集合。开始的时候，存在|V|棵单节点树，而添加一边则将两棵树合并成一颗树。当算法终止时，就只有一棵树，就是最小生成树。

并查集

并：合并，查：查询连通关系，集：形成集合，用于处理连通性问题。
并查集：集合中的元素组织成树的形式：

查找两个元素是否属于同一集合：所在树的根结点是否相同
合并两个集合——将一个集合的根结点作为另一个集合根结点的孩子

具体操作：

该算法是根据选取边来进行生成最小生成树，那么我们就将图的信息用一个边集结构表示，我们需要进行一个循环，循环条件就是当最小生成树的边达到N-1条时就退出(N为元素个数)，每次循环我们都需要选取最小权重的边，并且判断在树中加入这条边会不会形成圈，如果形成圈就不进行加入，直到树的边条数达到N-1就形成了最小生成树。
该算法的关键是判断在树中加入边会不会形成圈–也就是判断两个顶点是否位于两个连通分量，这就需要并查集的操作：在图中我们将每个顶点都当作一个集合，我们插入边的时候，直接判断这两个顶点是否处于一个集合中，如何是一个集合就不进行加入，如果不是一个集合，就需要将两个集合进行合并，那么这就需要一个存储每个节点的根(父亲)节点的数组parent。我们将parent每个连通分量(集合)进行初始化为-1，表示没有父亲。

实现代码：

struct edge{int u,v,w;  //u，v为顶点的，w为权重,u为起始点，v为终点
};static bool cmp(const edge &a,const edge &b){return a.w<b.w;}int findroot(int v,int parent[]){int t=v;while (parent[t]>-1){    //查找该集合的根节点。t=parent[t];}return t;}void Kruskal(int v){vector<edge>q;//存储每个连通变量的父亲节点的数组int parent[vnum+1];int w=0;     //记录最小生成树的总权memset(parent,-1, sizeof(int)*(vnum+1));//生成边集数组。for(int i=1;i<=vnum;i++) {listnode *p = an[i].next;while (p != nullptr) {if(i<p->data)q.push_back({i, p->data, p->weight});p = p->next;}}//进行排序将最小权边放入第一位。sort(q.begin(),q.end(), cmp);for(int i=0,num=0;num<vnum-1;i++){int v1=findroot(q[i].u,parent);int v2= findroot(q[i].v,parent);//判断祖先节点是否相等--判断是否在一个集合.if(v1!=v2){cout<<"("<<q[i].u<<","<<q[i].v<<")"<<" 权:"<<q[i].w<<endl;w+=q[i].w;parent[v2]=v1;    //合并集合。num++;}}cout<<"总权:"<<w;cout<<endl;}