【SSL 1056】最大子矩阵 (多维DP)

题目大意

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵,你的任务是找到最大的非空(大小至少是 1 ∗ 1 1*1 11)子矩阵。
比如,如下 4 ∗ 4 4*4 44 子矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是 15 15 15

输入格式

输入一个 N ∗ N N*N NN ( 1 < = N < = 500 ) (1<=N<=500) (1<=N<=500)的整数矩阵,每个数的范围在 − 127 -127 127~ 127 127 127 之间。

输出格式

输出最大子矩阵的大小。

输入样例

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

输出样例

15

基本思路

我们的第一想法肯定是暴力枚举,但即便用二维前缀和优化依然是 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4) ,明显是承受不了的。我们观察数据规模可以发现 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 是可以承受的,因为每个 f o r for for 循环不一定都是 n n n ,那么怎么优化呢?

首先我们可以枚举枚子矩阵的宽度,即它有多少列。然后我们在将这个子矩阵中每一行的数加起来看成一个数。
在这里插入图片描述
此时我们得到了一个从上到下有 n n n 个数的数列(因为我们只枚举了宽度,长度即行数则默认为 n n n)。接下来就要确定行数了,现在问题就转化为在这 n n n 个数中选取一段和最大的连续子序列。 在这个图中就是 11 , − 3 , 7 11, -3 , 7 11,3,7,由此确定的子矩阵为 { 9 , 2 } \{9,2\} {9,2} { − 4 , 1 } \{-4,1\} {4,1} { − 1 , 8 } \{-1,8\} {1,8} 了。

还有一个问题需要注意,因为存在负值情况,所以 a n s ans ans 要赋一个极小值。

核心代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=510;
int n,s[N][N],ans=-1e9;
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){cin>>s[i][j];s[i][j]+=s[i][j-1];}for(int d=0;d<n;d++){//枚举宽度 for(int i=1;i+d<=n;i++){int j=i+d,tmp=0;for(int k=1;k<=n;k++){tmp+=(s[k][j]-s[k][i-1]);//将此行的数看成一个数ans=max(ans,tmp);tmp=max(tmp,0); }}}cout<<ans;
//	2
//	-4 -2
//	-3 -1
//	
//	-1return 0;
}

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