自相关（Auto-Correlation）和卷积（Convolution）是信号处理中的两个重要操作，它们在时域中的应用有所不同。尽管在概念上有所关联，但它们用于不同的目的，尤其是在处理时间序列数据时。以下是自相关在时域中采用卷积而不是点积的原因：

自相关和卷积的定义

自相关

• 自相关 是一个信号与其自身在不同时间延迟（Lag）下的相关性度量。对于离散时间序列$x(t)$，其自相关函数$R_x(\tau )$通常定义为：
  $$R_x(\tau )=\sum _{t}x(t)x(t+\tau )$$
  其中$\tau$是时间延迟，表示信号与其自身在不同延迟下的相关性。

卷积

• 卷积 是两个信号之间的组合操作，用于描述一个信号如何被另一个信号调制。对于两个离散时间序列$x(t)$和$h(t)$，其卷积$y(t)$定义为：
  $$y(t)=(x\ast h)(t)=\sum _{k}x(k)h(t-k)$$

自相关与卷积的关系

• 自相关作为卷积的一种特例：
  • 自相关可以看作是信号与其自身的卷积，只是一个信号被翻转并移位。特别地，计算信号$x(t)$的自相关时，可以将其视为$x(t)$与自身的卷积：
    $$R_x(\tau )=\sum _{t}x(t)x(t+\tau )=\sum _{t}x(t)x(-t+\tau )$$
  • 这里，信号$x(t)$被翻转并移位，再与原信号求和，计算其在不同延迟下的相似性。

自相关为何采用卷积而非点积

1. 捕捉时间依赖性：

   • 自相关的核心目的是测量信号在不同时间延迟下的相似性，捕捉信号中的周期性或重复模式。通过卷积操作，自相关可以考虑信号在不同延迟下的所有配对情况，而点积只能考虑同一时间点上的相似性，无法反映时间延迟下的变化。

2. 包含时移信息：

   • 自相关函数通过移位（Shifting）和叠加（Summing），能够分析信号在不同时间延迟下的相关性。卷积操作的移位特性使其能系统地遍历所有可能的时间延迟，生成完整的自相关函数。

3. 信号处理的数学特性：

   • 自相关采用卷积操作的数学特性使其在频域中可以利用快速傅里叶变换（FFT）进行高效计算。根据卷积定理，时域中的卷积对应于频域中的乘积，这大大简化了计算复杂度，提高了效率。

4. 信号翻转与移位：

   • 自相关计算涉及信号的翻转与移位。卷积操作天然地包含了信号的翻转（即$h(t)$被翻转为$h(-t)$），这与自相关的计算需求完全吻合。而点积则不具备这种特性，无法直接用于自相关的计算。

总结

• 点积：用于测量两个信号在同一时间点上的相似性，但不涉及时移和翻转，无法捕捉时间序列中的延迟依赖关系。
• 卷积：适合用于自相关计算，因为它能系统地考虑信号在不同时间延迟下的相似性，通过信号翻转与移位的操作捕捉时间依赖性。

因此，自相关在时域中采用卷积而不是点积，主要是因为卷积能有效捕捉时间序列中的延迟依赖关系和周期性模式，而点积则无法实现这一点。卷积的数学特性和操作方式使其成为自相关计算的合适工具。