图论·Bellman_ford算法

无负权回路例题
带负权回路例题

Bellman_ford算法

适用条件

单源最短路径
存在负权值边
检测负权回路

核心操作

松弛：对每条边与源点的距离重新计算

if (dist[item.v1] != INT_MAX && dist[item.v1] + item.w < dist[item.v2]) {dist[item.v2] = dist[item.v1] + item.w;//dist[item.v1]未更新时应该跳过
}

迭代：可以视为一种逼近，利用边的信息一层层迭代，每一层都利用了上一层迭代的结果，所以源点到达各个结点的距离会越来越接近最小值，最终达到终点的距离也会接近最小值(但这好像不是贪心的思想，而只是简单的迭代逼近)

个人代码

using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, s, t, v;
struct Edge {int v1, v2, w;
};
void solve() {cin >> n >> m;vector<Edge>edges;vector<int>dist(n + 1, INT_MAX); dist[1] = 0;while (m--) {cin >> s >> t >> v;edges.push_back({ s,t,v });}for (int i = 1; i < n; i++) {for (auto item : edges) {if (dist[item.v1] != INT_MAX && dist[item.v1] + item.w < dist[item.v2]) {dist[item.v2] = dist[item.v1] + item.w;//dist[item.v1]未更新时应该跳过}}}if (dist[n] == INT_MAX) {cout << "unconnected";}else {cout << dist[n];}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

判断负权回路

输出结果前多加上一层循环,改掉判断逻辑即可

for (auto item : edges) {if (dist[item.v1] != INT_MAX && dist[item.v1] + item.w < dist[item.v2]) {cout << "circle";return;//return不可以省略}
}

注意事项

dist[item.v1] != INT_MAX不可以省略
vector<Edge>edges;存储方式既不是邻接矩阵也不是邻接表

优化版SPFA

核心操作

队列操作：类似BFS，目的是防止对一个出更新的边进行无意义的操作
存储方式：邻接表

个人代码

using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, s, t, v;
struct Edge {int vex, weight;
};
void solve() {cin >> n >> m;vector<int>dist(n + 1, INT_MAX); dist[1] = 0;vector<list<Edge>>grid(n + 1, list<Edge>());queue<Edge>q;while (m--) {cin >> s >> t >> v;grid[s].push_back({ t,v});}q.push({ 1,0 });while (!q.empty()) {Edge cur = q.front();q.pop();for (auto item : grid[cur.vex]) {if (dist[cur.vex] + item.weight < dist[item.vex]) {dist[item.vex] = dist[cur.vex] + item.weight;q.push(item);}}}if (dist[n] == INT_MAX) {cout << "unconnected";}else {cout << dist[n];}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

判断负权回路

只要一个顶点被加入到队列的次数>=n，一定出现了负权回路

定义计数数组

vector<int>count(n + 1, 0);

初始化队列

q.push({ 1,0 }); count[1]++;

队列操作逻辑更新

while (!q.empty()) {Edge cur = q.front();q.pop();if (count[cur.vex] >= n) {//判断加入队列的次数cout << "circle";return;}for (auto item : edges[cur.vex]) {if (dist[cur.vex] + item.weight < dist[item.vex]) {dist[item.vex] = dist[cur.vex] + item.weight;q.push(item);count[item.vex]++;}}
}