19 解决问题的策略

众所周知，每个学期都会有一个单元“解决问题的策略”。而在此文章，我们会把小学阶段所有策略都进行一一讲解。

每个年级的两个学期中的策略，其实有异曲同工之处。

三年级：从条件和问题出发解决问题
四年级：用图表整理信息
五年级：通过转化筛选来优化枚举
六年级：通过假设筛选来优化枚举

从不同角度解决问题【三年级】

三年级上册的思考方式是“从条件出发解决问题”，而三年级下册的思考方式是“从问题出发解决问题”，同时也贯穿了四年级上册的“多种方式解决问题”。

小猴帮妈妈摘桃，第一天摘了30个，以后每天都比前一天多摘五个。小猴第三天摘了几个？第五天呢？

为了与将两种极度相似的思考方式区分开，我画了两个图。

这是从条件出发所画出的逻辑图。以“第一天摘的桃子数量”作为整个问题的出发点。

这是从问题出发所画出的逻辑图。以“第五天摘的桃子数量”作为整个问题的出发点。

在这两种出发点中，思路或许有一些不同，但最后的算式基本是相同的。不同的人，思维方式或许有些不同，就像我喜欢从问题出发解决问题，但是还可能有人喜欢从条件出发解决问题。只要适合自己，那么这个思考方式就是好的。由于这个思路是所有应用题的基础，这一部分的理解深度决定高年级能不能学好。这就是四年级上册的关键。（由于这部分太基础了，甚至都不知道该说什么）

从条件出发思考问题要点：

要弄清题中每个条件的含义，看清楚要求的问题。
可以从条件想起，确定先算什么，再算什么。
可以列式计算，也可以列表找出答案。

从问题出发思考问题要点：

可以从问题开始想，根据问题分析数量关系，确定先算什么。
要根据题目中的条件和问题，选择分析问题的思路。

从多种角度出发思考问题要点：
先要弄清题意，明确已知条件和所求问题。
再分析数量关系，确定先算什么，后算什么。
算出答案，还要进行检验和反思。
可以从条件想起，也可以从问题想起。
可以通过列表、画线段图等方式进行分析。
可以利用数量之间的关系，用多种方法解题。

整理信息【四上】

在前面我讲过四年级上的思维方式是“多种角度解决问题”，但在我的印象中，还有一个非常费笔的事情：“整理信息”。
虽然它在课本中并没有提到很多，但是它在考试中的出现率非常高。要说窍门，也没什么窍门。整理信息有三步：

第一步、认真审题。

这一步审题可不只是简单的看一眼题，而是要清楚题目中的数量关系，每个数据对应的量分清楚。

第二步、看表

这一步的表也可能只是某种格式。如果需要文字描述，那么就要根据题目给出的例句来进行填写。而填表则需要看清楚表头，第一排，第一列，清楚每个数据应该填在哪里。

第三部、填写

这一步是在前两步的基础之上进行的，也是最终结果。

画图解决问题【四下】

画图的主要用途是整理信息与分析关系，让条件更直观。在普通的数量关系问题中，可以画线段图。
线段图的标注说明如下：

虚线分割+实线=多多少
虚线分割+虚线=少多少
右边直且向左括号=括号内数量之和

而在与图形有关的题目时，可以画示意图，把题目中的信息都标注出来，更容易思考。画图是一种最基本的能力，在小学阶段的应用范围非常多。我在遇到不懂的题目时，就会选择画图的策略。
画线段图的主要优点：
画线段图能使数量关系更直观、更清楚。
看线段图分析数量关系，容易找到解题方法。
把得数带入原题检验，要符合所有已知条件。
画示意图的体会：
要根据题目条件和信息逐步画出示意图。
要把题目的条件和问题都在示意图中标注清楚。
观察示意图可以清楚地看出数量之间的关系。

有序枚举【五上】

枚举是一个简单粗暴的策略。
其实大部分题目其实可以不用枚举法，用更高层次的方法可以解决。例如汽车发车问题，是公因数与公倍数的变体。

但是偏偏就有一些叼毛题目，只有枚举才可以解决。这里暂且不说需要把每种情况都要列举出来的题目。这里我以编程的角度说，一般的枚举题目，只需要双重循环，甚至时间复杂度可以降到O(n)甚至O(logn)的，就是简单枚举。但是有些题目，像深度优先搜索，广度优先搜索，它就有了一个更高级的名字：回溯算法。

简单枚举

在小学阶段，基本都是两个基数的枚举。我在02 排列与组合这篇文章中写到过，多个量的关系，“任选其一”或“并列”关系，用加法原理。“缺一不可”或“因果”关系，用乘法原理。固定一个基数，将另一个基数枚举，就得到了固定的这个基数的所有情况，以此类推。
列举时，可以列表，也可以画图。
可以根据问题的特点，选择合适的列举方法。
列举出全部结果后，要进行检查。

回溯算法

以深度优先搜索为例。深度优先搜索简称为dfs。无论是深度优先搜索，还是广度优先搜索，他们都需要“递归”这个中心思想。回溯就是递归，只要有递归就会有回溯。深度优先搜索可能会用于二叉树的搜索，在这个过程中，循环层数非常多，它已经脱离了简单枚举。

对于不会编程（例如我的同学），我可以用简单的语言描述。回溯算法只是暴力搜索，并不是什么高明的方法。
回溯算法能解决如下问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

这是回溯算法的伪代码。

//一定要分成横纵两个方面思考回溯
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//注意i=0,i=start的区别处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归  注意(i)和(i++)的区别  后面会懂回溯，撤销处理结果}
}

想要优化回溯算法只有剪枝一个方法。但是这篇文章并不想往下继续讲，因此回溯算法的介绍到此完成，知道就行了。

转化思维【五下】

转化思维是一个很辽阔的话题，但是在此对五年级下册所针对的两个主要转化题型作分解。

图形转化

对于有弧线的图形，往往需要转化。转化思维并不难，但是由于在它前一个单元学了“圆”，导致出现了曲线图形，也就需要转化。曲线图形转化的难度自然比非曲线图形要难得多。在转化的时候，有一个重点：弧线相同则可以拼接。只要能够证明这两弧线相同，就可以连到一起。
有些不规则的复杂图形可以转化成学过的熟悉图形。
图形转化时可以利用平移、旋转等方法。
转化后的图形和转化前的图形相比，形状变了，大小没有变。

特殊分式转化

这类的分式必须非常巧。一定要是分母相同，分子的比例为1：2的，才可以。

让我们再借用一下课本中的图片。将大正方形设为单位1，每个图形的面积都在逐步除以2。这是因为他们之间的比例是1:2的缘故。而最后缺失的面积，就是最小图形的面积。但对于其他比例是否也会有同样的结果，我还有待探究。
有些复杂的算式可以转化成简单的算式。
有时画图可以帮助我们找到转化的方法。

有序假设【六上】

在假设法这一单元，我们直接用课本上一些具有代表性的题目来讲解。比如说六上课本第七十一页练一练第一题，我们可以从问题和条件两个角度出发思考问题。

从问题出发思考问题

原问题：
上衣多少钱？
转化为：
假设买的全部都是裤子，需要多少钱？
裤子是多少钱？
假设的情况，与原情况相比有什么变化？
假设此情况之后问题变方便了吗？

从条件出发思考问题

上衣与裤子有什么关系？
如果全部买裤子，会发生什么变化？
如果这么买，会和原问题有什么出入？
假设后会变方便吗？

假设思维总结

我们可以发现，从条件和从问题出发都差不多，不过是顺序发生了一点变化。
这样子思考，我们就可以得出转化前与转化后的优劣以及钱数。
【重点】：假设多与转化思维共同出现，要仔细思考情况发生的变化。
之所以需要假设与转换，就是因为原情况过于复杂。当然，直接算出上衣的钱再相加也是可行的。
【重点】：参与多个量的假设往往有多种假设方法。

之前我们使用过的假设

在简便计算99×28时，凑整转换为(100-1)×28
已知两个数的和与差，假设这两数相等，分别求出两个数。
假定未知数为x，列方程计算
由此可见，假设法的用处很多。
通过假设可以转化问题，使数量关系关系变得简单。
假设时要搞清楚数量之间的关系。
假设时也可以用字母表示未知量，用方程解答。
弄清假设前后的数量关系，注意总量是否有变化。
要在不同的假设方法中选择较简单的。

更清晰地理解题目【六下】

这单元的主要考点是倍比法。对于这一单元，与【五下】的转化思维有相似之处。严格来说，倍比法就是通过转化思维来实现的。这是例一的考点。
但是例二的考点似乎就是【五上】的枚举法了。但这两个例子有异曲同工之处：用了画图的策略。这也和我三年级时分析的一样：六下注重于画图，并且更清晰地理解问题。
“把一个问题清楚地描述出来，这个问题就已经解决了一半。”清晰地理解问题，正是画图法的精髓。因为这点在之前的策略中有讲到过，（参见画图解决问题【四下】）所以这里就不过多描述了。