【抽代复习笔记】21-群(十五):循环群引理及定义

例4:证明,如果σ=(i1 i2 … ik)是Sn中的一个k-循环,而r∈Sn,则rσr^(-1)也是一个k-循环,且rσr^(-1)=(r(i1),r(i2),…,r(ik))。

证:①设σ=(i1 i2 … ik)=(i1 ik)(i1 ik-1)…(i1 i2),

则rσr^(-1)=r(i1 i2 … ik)r^(-1)=r(i1 ik)(i1 ik-1)…(i1 i2)r^(-1)=r(i1 ik)[r^(-1)r](i1 ik-1)[r^(-1)r]…[r^(-1)r](i1 i2)r^(-1)=[r(i1 ik)r^(-1)][r(i1 ik-1)r^(-1)]…[r(i1 i2)r^(-1)];

②在上述①中,任取一个r(is it)r^(-1) = v,两边右乘r,可得r(is it) = vr,而r显然是双射,所以r(i1),r(i2),...,r(ik)互不相同,先考察它们在v下的像:

因为r(it) = r(is it)(is) = v[r(is)],r(is) = r(is it)(it) = vr(it),所以v把r(is)变为r(it),把r(it)变为r(is),

对任意不等于is,it的ip,有r(ip) = r(is it)(ik) = vr(ik),也就是把r(ik)变为r(ik),

因此,置换v把{r(i1),r(i2),...,r(ik)}中的r(is)与r(it)对换,其它变为原数,即v = (r(is) r(it))。

所以①中的rσr^(-1) = [r(i1) r(ik)]...[(i1) r(i3)][(i1) r(i2)] = (r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik)),

命题得证。

上述分析表明了rσr^(-1)的性质:

①若σ = (is it),则rσr^(-1) = (r(is) r(it));

②若σ = (i1 i2 … ik),则rσr^(-1) = (r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik));

③若σ = (i1 i2 … ik)(j1 j2 ... jl)(z1 z2 ... zm),则rσr^(-1) = [r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik)][r(j1) r(j2) r(j3) ... r(jl)][r(z1) r(z2) r(z3) ... r(zm)]。

循环群

引理:

欧拉函数Φ(n)定义为:小于n,且与n互素的非负整数的个数。

例1:(1)求Φ(4),Φ(12),Φ(18),Φ(13),Φ(24),Φ(36),Φ(5),Φ(7);

(2)写出欧拉函数的一条性质。

解:(1)①小于4且与4互素的非负整数有1和3两个,因此Φ(4) = 2;

②小于12且与12互素的非负整数有1、5、7、11四个,所以Φ(12) = 4;

③小于18且与18互素的非负整数有1、5、7、11、13、17六个,所以Φ(18) = 6;

④小于13且与13互素的非负整数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共十二个,所以Φ(13) = 12;

⑤小于24且与24互素的非负整数有1、5、7、11、13、17、19、23共8个,所以Φ(24) = 8;

⑥小于36且与36互素的非负整数有1、5、7、11、13、17、19、23、25、29、31、35共十二个,所以Φ(36) = 12;

⑦小于5且与5互素的非负整数有1、2、3、4共四个,所以Φ(5) = 4;

⑧小于7且与7互素的非负整数有1、2、3、4、5、6共六个,所以Φ(7) = 6。

【注:1与任意数互素】

(2)欧拉函数的一条重要性质:当n为素数是,Φ(n) = n-1。

定义1:设G是一个群,a∈G,若对任意b∈G,都存在整数m,使得b = a^m = a o a o ... o a(m个a),则称群G为一个循环群,且称a为群(G,o)的生成元,记为G = (a)。

【注:上述的生成元a可能等于0,因此a^0 = e(单位元),不能写成a^0 = 1。】

例2:A3 = {(1),(123),(132)}是S3中所有偶置换组成的集合,证A3关于变换的乘法作成一个循环群,但S3并不是一个循环群。

证:(1)首先证明A3是一个群:

①因为任意两个偶置换相乘还是偶置换,所以满足了群公理的第一条封闭性;

②变换的乘法适合结合律,所以也满足了群公理的第二条;

③对于(1)∈A3,任意的f∈A3,都有(1) o f = f o (1) = f,因此(1)为A3中的单位元,所以也满足了群公理的第四条;

④因为(123)(132) = (132)(123) = (1),因此(123)和(132)互为逆元,(1)的逆元则是它本身,所以A3中每一个元素都存在对应的逆元,所以也满足了群公理的第五条。

综上,根据群的第二判定定理,可以得出A3关于变换的乘法作成群。

(2)再证A3是一个循环群:

对于(123)∈A3,由于(123)^1 = (123)∈A3,(123)^2 = (132)∈A3,(123)^3 = (1)∈A3,所以A3中任意的元素都可以由(123)生成,所以A3是一个循环群,其生成元为(123),记为A3 = ((123))。

(3)最后证S3不是循环群:

因为在S3中找不到生成元a,能够满足对任意的b∈S3,都存在整数m,使得a^m = b,因此S3不是循环群。

补充:

①(132)也是A3的生成元;

②A3刻画的是等边三角形的旋转对称性;

③一般地,An关于变换的乘法作成的群,叫做“n次交错群”。

(待续……)

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/bicheng/31906.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

触想工业一体机在智慧医疗智能采血管理系统中的应用

一、行业发展前景 作为医院重点科室之一,传统的检验科采血环节存在诸多痛点,特别在备管阶段,大量患者信息的核对、试管条码打印、选管、贴标等繁琐步骤均依赖人工操作,工作强度大、效率低,易出错。 随着智慧医院建设的…

笔记-python里面的xlrd模块详解

那我就一下面积个问题对xlrd模块进行学习一下: 1.什么是xlrd模块? 2.为什么使用xlrd模块? 3.怎样使用xlrd模块? 1.什么是xlrd模块? ♦python操作excel主要用到xlrd和xlwt这两个库,即xlrd是读excel&…

秋招突击——6/21——新作{两两交换链表中的节点,K个一组反转链表}

文章目录 引言新做删除有序数组中的重复项个人实现 K 个一组翻转链表个人实现参考代码 总结 引言 上午完全去听讲座了,听了三场,拿了三个讲座单,从九点一直到十二点。笔记本电脑插电才能用,就没带,所以没有进行复习。…

qt开发-08_layout 布局

Qt 提供了非常丰富的布局类,基本布局管理类包括:QBoxLayout、QGridLayout、QFormL ayout 和 QStackedLayout。这些类都从 QLayout 继承而来,它们都来源于 QObject(而不是 QWi dget)。创建更加复杂的布局,可…

设置PowerShell打开默认路径是桌面,方便在桌面运行py程序

1.打开 PowerShell 以管理员身份运行。右键点击 PowerShell 图标,然后选择“以管理员身份运行”。 查看当前执行策略: Get-ExecutionPolicy2.更改执行策略: 为了允许脚本运行,你可以将执行策略设置为 RemoteSigned 或 Unrestricted。下面的命令将执行策略更改为 RemoteS…

广东省建筑施工安管人员考核报名流程及照片处理方法

广东省建筑施工企业安管人员考核工作现已全面启动,这对于提升建筑行业的安全生产管理水平至关重要。为了确保广大考生能够顺利报名并参与考核,本文精心梳理了考核报名流程,并提供了证件照的规范处理方法。同时,针对证件照这一关键…

windows端口被占用问题,杀死进程

描述:端口被占用 在使用IntelliJ IDEA运行程序时,可能会遇到端口占用的情况,这通常由以下几个原因引起: 1、同一程序多次启动:如果你没有正确关闭之前运行的程序实例,再次尝试运行相同的程序时,…

mysql 库存表 累计 sql语句 第一方法

这是一个表,要求累计金额 。表名t ,字段lsh,shangpinbh,jine。 流水号商品编号金额累计金额1100125002500210013000550031004400095004100610001050051007200012500 select lsh,shangpinbh,jine,(select sum(jine) from t where …

使用 ProGuard 混淆你的 Java 代码

使用 ProGuard 混淆你的 Java 代码 一、简介二、配置pom三、使用混淆后的 JAR 文件四、总结 一、简介 ProGuard 是一款流行的 Java 代码混淆工具,可以混淆和优化你的代码,使其更难被反编译和分析。混淆通过重命名类、方法和变量名称来实现,从…

短剧app系统开发源码对接聚合广告

短剧APP是一种专门用于观看、创作和分享短剧的移动应用程序。它通常集成了视频播放、社交互动、内容创作等功能,为用户提供了一个便捷的短剧观赏和交流的平台。 短剧APP的特点如下: 时长短:短剧APP提供的短剧内容通常精简扼要,每…

QMetaEnum 使用详解

QMetaEnum 是 Qt 框架中的一个类,它提供了关于枚举类型的元数据信息。以下是 QMetaEnum 使用的详解: 1. 自定义枚举类型 在使用 QMetaEnum 之前,你需要先定义一个枚举类型,并且确保它是 QObject 的子类的一部分。你可以使用 Q_E…

兴顺物流管理系统的设计

管理员账户功能包括:系统首页,个人中心,管理员管理,驾驶员管理,物流资讯管理,车辆管理,基础数据管理 员工账户功能包括:系统首页,个人中心,物流资讯管理&…

秋招突击——6/17——复习{整理昨天的面试资料}——新作{删除链表倒数第n个节点}

文章目录 引言复习新作删除链表倒数第N个节点题目描述个人实现参考实现 总结 引言 主管面,面的很凄惨,不过无所谓了,我已经尽力了。上午都在整理的面经,没有复习算法,而且这两天要弄一下论文,二十号就要提…

C#使用Scoket实现服务器和客户端互发信息

20240616 By wdhuag 目录 前言: 参考: 一、服务器端: 1、服务器端口绑定: 2、服务器关闭: 二、客户端: 1、客户端连接: 2、客户端断开: 三、通讯: 1、接收信…

Hallo技术:革新电影、游戏与虚拟现实中的动态肖像动画

在数字娱乐的浪潮中,逼真的动态肖像动画成为了电影制作、游戏开发和虚拟现实等领域不可或缺的一部分。复旦大学研发的Hallo技术,以其独特的扩散模型和分层音频驱动视觉合成模块,为这一领域带来了革命性的突破。 技术概览 Hallo技术是一种基…

GSettings(三)——GSettings底层原理

GSettings 是基于 D-Bus 的高级配置系统,主要用于 GNOME 桌面环境和其他依赖 GSettings 的应用程序。它通过 GObject 库与 DConf 进行通信,以便读取和写入配置数据。 GSettings 工作原理 GSettings API: 开发人员通过 GSettings API 来读取和…

Spring Boot启动报错Lombok supports: sun/apple javac 1.6, ECJ

版本 idea 2023.3.4 <dependency><groupId>org.projectlombok</groupId><artifactId>lombok</artifactId><version>1.18.32</version></dependency> 解决方式 File->Settings->Build, Execution, Deployment->Com…

利用机器学习重构视频中的人脸

引言 中国与英国的研究团队携手合作&#xff0c;开创了一种创新的视频面孔重塑技术。这项技术能够以极高的一致性对视频中的面部结构进行逼真的放大和缩小&#xff0c;且避免了常见伪影的产生。 从研究人员选取的YouTube视频样例中可见&#xff0c;经过处理后&#xff0c;女演…

机器学习——训练集、测试集、验证集与模型选择

在机器学习的过程中&#xff0c;数据的划分是至关重要的步骤。为了评估模型的泛化性能&#xff0c;我们通常会将数据集划分为训练集、测试集和验证集。这三个集合各有不同的作用&#xff0c;下面我们将逐一介绍。一、训练集 训练集是用于训练模型的数据集。通过使用训练…