复杂度分析

大O复杂度表示法

例子1

 int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}

代码的 int sum = 0和 int i = 1需要1个unit_time的执行时间
遍历那部分的代码，需要执行n遍，所以需要2n*untime_time的执行时间
所以整个代码的总的执行时间就是(2n + 2) * unit_time
可以看出,所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比

例子2

 int cal(int n) {int sum = 0; // 1个unit_timeint i = 1;   // 1个unit_timeint j = 1;   // 1个unit_timefor (; i <= n; ++i) {   // 执行n遍,需要2n*unit_timej = 1;for (; j <= n; ++j) {   // 执行n^2遍，需要2(n^2) * unit_timesum = sum +  i * j;}}}

整段代码总的执行时间: T(n) = (2(n ^ 2) + 2n + 3) * unit_time

规律

所有代码的执行时间T(n)与每行代码执行次数n成正比

把这个规律总结成一个公式: T(n) = O(f(n))
T(n)，代表代码执行时间
- n表示数据规模的大小
- f(n) 表示每行代码执行的次数总和，因为这是一个公式，所以用f(n)来表示
公式中的O，表示代码执行时间T(n) 与 f(n)表达式成正比

大O时间复杂度表示法

所以，第1个例子中的T(n) = O(2n + 2), 第2个例子中的T(n) = O(2(n^2) + 2n + 3)
这就是大O时间复杂度表示法
大O时间复杂度并不具体代表代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫做渐进时间复杂度(asymptotictime complexity), 简称时间复杂度

时间复杂度

只关注循环执行次数最多的一段代码

int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}

在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环次数最多的那一段代码就可以了
int sum = 0;、int i = 1; 是常量级别代码与n的大小无关，所以对复杂度没有影响
循环才是代码分析的重点，循环代码被执行n次，所以总的时间复杂度为O(n)

加法法则: 总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {int sum_1 = 0;int p = 1;for (; p < 100; ++p) {sum_1 = sum_1 + p;}int sum_2 = 0;int q = 1;for (; q < n; ++q) {sum_2 = sum_2 + q;}int sum_3 = 0;int i = 1;int j = 1;for (; i <= n; ++i) {j = 1; for (; j <= n; ++j) {sum_3 = sum_3 +  i * j;}}return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}

代码分成三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。可以分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一起，再取一个量级最大的作为整段的复杂度
第一段的时间复杂度是多少？
- 这段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关
- 即便代码循环10000次，还是1000000，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间
- 尽管对代码的执行时间会很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所有不管常量的执行时间多大，都可以忽略。因为它本身对增长趋势并没有影响
第2段和第3段代码的时间复杂度: O(n) 和 O(n ^ 2)
综合这三段代码的时间复杂度，取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度为O(n ^ 2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度
公式
- T1(n) = O(f(n))
- T2(n) = O(g(n))
- 那么T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n))), O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))

乘法法则: 嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

公式

如果T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n))
那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))
也就是说，假设T1(n) = O(n), T2(n) = O(n ^ 2),则T1(n) * T2(n) = O(n ^ 3)

例子

int cal(int n) {int ret = 0; int i = 1;for (; i < n; ++i) {ret = ret + f(i);} 
} int f(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i < n; ++i) {sum = sum + i;} return sum;
}

假设f()只是一个普通的操作，循环部分代码的时间复杂度为T1(n) = O(n)
但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n) = O(n),所以，整个call函数的时间复杂度就是, T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n * n) = O(n ^ 2)

常见的时间复杂度

O(1)

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

O(1)只是常量时间的复杂度的一种表示方法，并不是指执行了一行代码
上面的代码，即便3行，它的时间复杂度也是O(1)，而不是O(3)
一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)

O(logn)、O(nlogn)

O(logn)

i=1;
while (i <= n)  {i = i * 2;
}

对数时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度
根据前面的分析方法，第3行代码是循环次数最多的。所以，只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能直到整段代码的时间复杂度
从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2，当大于n时，循环结束
实际上，变量i的取值就是一个等比数列
- 2 ^0、2 ^ 1、2 ^ 2、… 、2 ^ k、… 、 2 ^ x = n
所以，只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2 ^ x = n求解，等于 x = log2n。所以这段代码的时间复杂度就是O(log2n)

O(nlogn)

还记得刚讲过的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)
O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度，比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)

O(m + n) 和 O(m * n)

int cal(int m, int n) {int sum_1 = 0;int i = 1;for (; i < m; ++i) {sum_1 = sum_1 + i;}int sum_2 = 0;int j = 1;for (; j < n; ++j) {sum_2 = sum_2 + j;}return sum_1 + sum_2;
}

代码的复杂度是由2个数据的规模来决定的
从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。无法事先评估m和n谁的量级大，所以在表示复杂度的时，就不能简单利用加法法规，省略掉其中一个，所以上面代码的时间复杂度就是O(m + n)
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，需要将加法规则改为T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))
但乘法法则继续有效: T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity), 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

void print(int n) {int i = 0;int[] a = new int[n];for (i; i <n; ++i) {a[i] = i * i;}for (i = n-1; i >= 0; --i) {print out a[i]}
}

跟时间复杂度分析一样，在第2行代码中，申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模n没有关系
第3行申请了一个大小为n的int类型数据，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度为O(n)

最好、最坏情况时间复杂度

例子

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {int i = 0;int pos = -1;for (; i < n; ++i) {if (array[i] == x) {pos = i;break;}}return pos;
}

在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数据都遍历一次，因为有可能中途找到就可以提前结束循环
这段代码时间复杂度是O(n)?
- 因为，要查找的变量x可能出现在数组的任意位置
- 如果数组中第一元素正好是要查找的变量x，那就不需要继续变流剩下的n - 1个数据了，那时间复杂度就是O(1)
- 但如果数据中不存在变量，那么就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了O(n)
- 所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的

最好情况时间复杂度

在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度
就像刚才讲到的，在最理想的情况下，要查找的变量x正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度

最坏情况时间复杂度

在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度
就像刚刚举的哪个例子，如果数组中没有要查找的变量x，需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度

平均情况时间复杂度

请添加图片描述

要查找的变量x在数组中的位置，有n + 1种情况
- 在数组的 0 ~ n - 1位置中和不在数组中
- 我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n + 1，就可以得到需要遍历元素个数的平均值
- 时间复杂度的大O标记法中，可以省略系数、低阶、常量，所以，把刚刚这个公式简化，得到平均时间复杂度就是O(n)

请添加图片描述

我们知道，要查找的变量x，要么在数组里，要么就不在数组里
- 假设在数组中与不在数组中的概率都为1/2
- 另外，要查找的数据出现在 0 ~ n - 1这个n个位置的概率也是一样的，为 1 / n
- 所以，根据概率乘法则，要查找的数据出现在 0 ~ n - 1中任意位置的概率就是1/2n
- 因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了上图
- 这个值就是概率论中的加权平均值也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称叫做加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

均摊时间复杂度

例子

// array表示一个长度为n的数组
// 代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;void insert(int val) {if (count == array.length) {int sum = 0;for (int i = 0; i < array.length; ++i) {sum = sum + array[i];}array[0] = sum;count = 1;}array[count] = val;++count;
}

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能
当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入
但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组
那这段代码的时间复杂度是多少呢？
- 最理想的情况下
  - 数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)
- 最坏的情况下
  - 数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)
- 那平均时间复杂度是多少呢？
  - 答案是 O(1)
  - 假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)
  - 除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)
  - 而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是
针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值
针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度