01背包问题 二维
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动态规划5步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] ：从下标为[0,i-1]个物品中任取，放进容量为j的背包，价值总和最大为多少。
- 确定递推公式，
有两个方向可以推导出来dp[i][j] ：
不放物品i： dp[i][j] = dp[i - 1][j]
放物品i： dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);- dp数组如何初始化 【】
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}
- 确定遍历顺序【其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。】
- 举例推导dp数组
先遍历物品，还是先遍历背包都可以，先遍历物品比较简单
def hanshu():M, bagweight = [int(x) for x in input().split()]weight = [int(x) for x in input().split()]value = [int(x) for x in input().split()]dp = [[0]*(bagweight+1) for i in range(M)] #dp[i][j]代表从物品【0,i-1】让任意取，背包重量j，达到的最大价值#初始化for j in range(weight[0],bagweight+1):dp[0][j] = value[0]for i in range(1, M):for j in range(1, bagweight+1):if j>=weight[i]:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[M-1][bagweight]maxs = hanshu()
print(maxs)01背包问题 一维（滚动数组）
其实就是遍历物品i的时候，覆盖i-1的结果
动态规划5步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] ：容量为j的背包，价值总和最大为dp[i]。
- 确定递推公式，
有两个方向可以推导出来dp[i][j] ：
不放物品i： dp[i][j] = dp[i - 1][j]
放物品i： dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
所以递归公式：此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序 倒序遍历背包是为了保证物品i只被放入一次！
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量【倒序】dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}
def test_1_wei_bag_problem():weight = [1, 3, 4]value = [15, 20, 30]bagWeight = 4# 初始化dp = [0] * (bagWeight + 1)for i in range(len(weight)): # 遍历物品for j in range(bagWeight, weight[i] - 1, -1): # 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])print(dp[bagWeight])test_1_wei_bag_problem()
416. 分割等和子集
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要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
动态规划5步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] ：容量为j的背包，价值总和最大为dp[i]。
- 确定递推公式，
有两个方向可以推导出来dp[i][j] ：
不放物品i： dp[i][j] = dp[i - 1][j]
放物品i： dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
所以递归公式：此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序 倒序遍历背包是为了保证物品i只被放入一次！
== 如果 dp[j] = j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。==
主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)
class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if sum(nums) % 2 != 0:return Falsetarget = sum(nums) // 2dp = [0] * (target + 1)for num in nums:for j in range(target, num-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-num] + num)return dp[-1] == target # 集合中的元素正好可以凑成总和target
class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:total_sum = sum(nums)if total_sum % 2 != 0:return Falsetarget_sum = total_sum // 2dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]# 初始化第一行（空子集可以得到和为0）for i in range(len(nums) + 1):dp[i][0] = Truefor i in range(1, len(nums) + 1):for j in range(1, target_sum + 1):if j < nums[i - 1]:# 当前数字大于目标和时，无法使用该数字dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:# 当前数字小于等于目标和时，可以选择使用或不使用该数字dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]return dp[len(nums)][target_sum]
