1049.最后一块石头的重量Ⅱ

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思路：与前一题基本一致，将所有石头分为重量最接近sum/2的两堆，碰撞之后剩下的就是最小值

动规五部曲：
1.dp数组及其下标含义：重量为j的背包所能容纳的最大价值（本题中也就是重量）为dp[j]；

2.确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])；

3.dp数组初始化：初始化全为0即可；

4.确定遍历顺序：先遍历石头，再遍历背包；

5.打印dp数组：当stones = [2,7,4,1,8,1]时，dp = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]。

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:target = sum(stones) // 2  # 分割值为总和的一半dp = [0] * (target + 1)  # 初始化长度为target + 1的全零dp数组for i in stones:  # 先遍历石头for j in range(target, i - 1, -1):  # 再倒序遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - i] + i)return sum(stones) - 2 * dp[-1]  # 返回碰撞后所剩的值

494.目标和

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本题类似于回溯算法中的组合总和问题，代码如下：

class Solution:def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):if total == target:  # 回溯终止条件result.append(path[:])for i in range(startIndex, len(candidates)):if total + candidates[i] > target:  # 大于目标值则直接跳出循环breaktotal += candidates[i]path.append(candidates[i])self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)total -= candidates[i]path.pop()def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total = sum(nums)if target > total:  # 目标和大于总和说明无解return 0if (target + total) % 2 != 0:  # 目标和与总和加起来的值必须是偶数才有解，否则无解，例如目标和为3，总和为5，这时和为8，有解，若目标和为4，则无解，因为5个1不可能求出4return 0bagSize = (target + total) // 2  # 将问题转化为组合总和问题，bagSize就是新的目标和result = []nums.sort()self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)return len(result)

动态规划思路：假设加法的总和（nums中取加号的数）为add，减法的总和（nums中取减号的数）为sub，所以 add + sub  = sum，add - sub = target，那么：

sub = sum - add → add - sub  = (sum - add)  = target → add = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为 add 的背包，有几种方法。

1.dp数组及其下标含义：装满容量为j的背包有dp[j]种方法； 

2.确定递推公式：已知nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。所以递推公式为：

dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.dp数组初始化：从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

4.确定遍历顺序：nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序，也就是先物品后背包。

5.打印dp数组

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:if abs(target) > sum(nums):  # 目标绝对值大于总和说明无解return 0if (target + sum(nums)) % 2 != 0:  # 不是偶数说明无解return 0target_sum = (target + sum(nums)) // 2  # 求出目标和（代表背包总容量）dp = [0] * (target_sum + 1)dp[0] = 1  # j等于0时初始化为1for i in nums:  # 先物品（数）for j in range(target_sum, i - 1, -1):  后背包（目标和）dp[j] += dp[j - i]  # 递推公式return dp[-1]

474.一和零

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本题中strs数组里的元素就是物品，不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。而m和n相当于是一个拥有两个维度的背包。

动规五部曲：

1.dp数组及其下标含义：dp[i][j]指最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]；

2.确定递推公式：dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)；

3.dp数组初始化：全部初始化为0；

4.确定遍历顺序：先物品（字符串）后背包（两个维度）

5.打印dp数组

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]for str in strs:zero = str.count('0')one = str.count('1')for i in range(m, zero - 1, -1):for j in range(n, one - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero][j - one] + 1)return dp[-1][-1]