DeepSORT（目标跟踪算法）中的计算观测值与状态估计的马氏距离

flyfish

在目标跟踪中，使用马氏距离可以帮助判断某个观测值是否与当前的状态估计一致。
gating_distance 是一个方法，用于计算状态分布和观测值之间的门限距离（gating distance）。门限距离通常用于数据关联和验证测量值是否合理。提示用户可以从 chi2inv95 中获取适当的距离阈值。如果only_position 为 False，则使用4自由度的卡方分布，否则使用2自由度的卡方分布。

使用 gating_distance 方法计算观测值与状态估计的马氏距离，并判断哪些观测值在合理范围内.
在源码中有这样一句

  cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance)

将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程

Cholesky 分解是一种将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程。具体来说，如果 $A$ 是一个对称正定矩阵，那么它可以被分解为：

$A = LL^T$

其中 $L$ 是一个下三角矩阵。

具体例子

假设我们有一个 3x3 的对称正定矩阵：
$\begin{bmatrix}4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix}$
我们要找到下三角矩阵 ( L ) 使得：
$A = LL^T$

计算过程

初始化 ( L ) 矩阵：
( L ) 初始化为一个与 ( A ) 维度相同的零矩阵：
$\begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{bmatrix}$
计算 $L$ 的元素：

计算(l_{11} )：
$l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4} = 2$
计算 ( l_{21} )：
$l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{12}{2} = 6$
计算 ( l_{31} )：
$l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{-16}{2} = -8$
计算 ( l_{22} )：
$l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{37 - 6^2} = \sqrt{37 - 36} = 1$
计算 ( l_{32} )：
$l_{32} = \frac{a_{32} - l_{31} l_{21}}{l_{22}} = \frac{-43 - (-8) \cdot 6}{1} = \frac{-43 + 48}{1} = 5$
计算 ( l_{33} )：
$l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} = \sqrt{98 - (-8)^2 - 5^2} = \sqrt{98 - 64 - 25} = \sqrt{9} = 3$

构造 ( L ) 矩阵：
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix}$
验证分解结果：
我们可以验证 $LL^T = A$ ：

$LL^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix} = A$
因此，分解是正确的。

Python 示例

我们可以使用 NumPy 来计算 Cholesky 分解：

import numpy as np# 定义矩阵 A
A = np.array([[4, 12, -16],[12, 37, -43],[-16, -43, 98]
])# 计算 Cholesky 分解
L = np.linalg.cholesky(A)# 输出结果
print("L:\n", L)
print("L * L.T:\n", np.dot(L, L.T))

运行上述代码，您将得到下三角矩阵 $L$ 和验证结果 $LL^T$ 。

结果

L:[[ 2.  0.  0.][ 6.  1.  0.][-8.  5.  3.]]
L * L.T:[[  4.  12. -16.][ 12.  37. -43.][-16. -43.  98.]]

矩阵 $A$ 成功地分解为 $LL^T$ 。

计算观测值与状态估计的马氏距离的函数说明

def gating_distance(self, mean, covariance, measurements,only_position=False):mean, covariance = self.project(mean, covariance)if only_position:mean, covariance = mean[:2], covariance[:2, :2]measurements = measurements[:, :2]cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance)d = measurements - meanz = scipy.linalg.solve_triangular(cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False,overwrite_b=True)squared_maha = np.sum(z * z, axis=0)return squared_maha

参数说明：

mean：状态分布的均值向量（8维）。
covariance：状态分布的协方差矩阵（8x8维）。
measurements：Nx4维矩阵，包含N个观测值，每个观测值的格式为 (x, y, a, h)，其中 (x, y) 是边界框的中心位置，a 是长宽比，h 是高度。
only_position（可选）：如果为 True，则只计算中心位置 (x, y) 的距离

返回值说明：

返回一个长度为 N 的数组，其中第 i 个元素包含 (mean, covariance) 和 measurements[i] 之间的平方马氏距离。

具体步骤

1 投影到测量空间：
mean, covariance = self.project(mean, covariance) 将状态均值和协方差矩阵投影到测量空间。
2 简化计算（如果只考虑位置）：
if only_position: 部分只考虑位置部分，简化均值和协方差矩阵。
3 计算马氏距离：
cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance) 计算协方差矩阵的 Cholesky 分解。
d = measurements - mean 计算观测值与均值的差值。
z = scipy.linalg.solve_triangular(cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False, overwrite_b=True) 通过解三角方程计算标准化残差。
squared_maha = np.sum(z * z, axis=0) 计算平方马氏距离。