【摄影测量02】什么是内外方位参数？坐标系旋转变换？

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引言

摄影测量学是利用摄影技术获取空间信息的科学。本文旨在介绍摄影测量学中的基础概念，包括内方位元素和外方位元素，以及空间直角坐标系的旋转变换。

1 内方位元素与外方位元素

1.1 内方位元素

内方位元素是指摄影测量中与摄影机内部结构相关的参数共3个参数。 这些参数包括：

• 焦距 $f$：镜头中心到成像平面的距离，也称为主距。
• 主点 $(x_0,y_0)$：成像平面上与镜头中心（摄影中心）垂直相交的点。
  

这些参数共同决定了摄影机的成像模型，是进行空间坐标转换的基础。

1.2 外方位元素

外方位元素描述了摄影机在空间中的位置和姿态共6个参数。 它们包括：

• 位置向量 $(X,Y,Z)$：摄影机在空间直角坐标系中的位置。
• 姿态角 $(\varphi ,\omega ,\kappa )$：分别代表摄影机绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角度。

外方位元素是实现从摄影机坐标系到空间直角坐标系转换的关键。

2 旋转矩阵的概念与应用

2.1 旋转矩阵的定义

旋转矩阵是用于在三维空间中描述一个坐标系相对于另一个坐标系的旋转。它具有两个主要含义：坐标变换和旋转向量。

2.2 坐标变换

坐标变换是旋转矩阵的一个基本功能，它允许我们将一个点在旋转后坐标系中的坐标转换为旋转前坐标系中的坐标。假设有一个点 $P$，在原始坐标系$A$中的坐标为$(x,y,z)$，而在旋转后的坐标系$B$中坐标为$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$。坐标变换可以表示为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=R\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$
其中，$R$是旋转矩阵。

2.3 旋转向量

旋转矩阵的另一个功能是描述向量本身的旋转。 如果我们有一个向量 $\vec{p}$，经过旋转矩阵$R$作用后，变为${\vec{p}}^{\prime }$，这个过程可以表示为：
$${\vec{p}}^{\prime }=R\cdot \vec{p}$$
$$R(\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )& 0\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
这里，$R$ 将向量 $\vec{p}$ 绕旋转轴旋转一定角度$\alpha$。

2.4 旋转矩阵的几何意义

旋转矩阵 $R$ 的列向量代表了旋转后坐标系 $B$ 的坐标轴在原始坐标系$A$ 中的方向。换句话说，旋转矩阵的列向量是旋转后坐标系的基向量在原始坐标系中的坐标。

2.5 旋转矩阵的左右乘意义

• 左乘：当我们讨论向量的旋转时，向量 $\vec{p}$ 左乘旋转矩阵$R$表示向量绕固定坐标系的旋转。如果一个向量需要依次绕三个坐标轴旋转，那么旋转矩阵是按照旋转次序依次左乘得到的。

• 右乘：当我们讨论坐标变换时，右乘旋转矩阵表示从一个坐标系变换到另一个坐标系。例如，如果坐标系$C$是通过坐标系$A$绕三个轴依次旋转得到的，那么从$C$退回到$A$的坐标变换需要右乘相应的旋转矩阵。

参考文献

旋转矩阵及左右乘的意义，看这一篇就够了_旋转矩阵左乘和右乘的几何意义-CSDN博客