扩展翡蜀定理问题

问题描述

给定一个大小为 n n n 的集合 A = { a 1 , a 2 ∼ a n } A=\{a_1,a_2 \sim a_n\} A={a1,a2an},满足条件 gcd ( A ) = 1 \text{gcd}(A)=1 gcd(A)=1

O ( 1 ) O(1) O(1)时间内 求最大的 k k k ,满足不存在一个大小为 n n n非负数集合 B = { b 1 , b 2 … b n } B=\{b_1,b_2 \ldots b_n\} B={b1,b2bn}使得 ∑ i = 1 i ≤ n a i × b i = k \sum_{i=1}^{i\le n}a_i \times b_i=k i=1inai×bi=k

数据约束: a i ≤ 1 0 9 a_i \le 10^9 ai109

问题解决

很遗憾,具体怎么解决我还不会,这里只能给出一点我已知的,有可能对解决问题有帮助的东西。

一.暴力代码

时间复杂度 O ( 爆炸 ) O(爆炸) O(爆炸) , 空间复杂度 O ( 爆炸 ) O(爆炸) O(爆炸)

只能用来求最终答案在 1 0 8 10^8 108 以内的数据。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a[100000005],q,vist[100000005];
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin>>q;for(ll i=1;i<=q;i++)cin>>a[i];vist[0]=1;for(ll i=0;i<=100000000;i++){if(vist[i])for(ll j=1;j<=q;j++)vist[i+a[j]]=1;}for(ll i=100000000;i>=1;i--){if(vist[i]==0){cout<<i;break;}}return 0;
}

二.考虑 b i b_i bi 可以为负数的情况

对于任意 k k k 都存在一个大小为 n n n整数集合 B = { b 1 , b 2 … b n } B=\{b_1,b_2 \ldots b_n\} B={b1,b2bn}使得 ∑ i = 1 i ≤ n a i × b i = k \sum_{i=1}^{i\le n}a_i \times b_i=k i=1inai×bi=k

这里给出一个构造大小为 n n n整数集合的代码。

时间复杂度: O ( n l o g ( n ) ) O(nlog(n)) O(nlog(n)),空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)

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