Leetcode：正则表达式匹配

普通版本（动态规划）

状态表示

状态转移方程

优化③①情况

数学化简分析

结合实际情况画图化简分析

总结

最终代码

题目链接：10. 正则表达式匹配 - 力扣（LeetCode）

好像是leetcode前100道里面最难的一道？我是fw🤡

普通版本（动态规划）

题目条件：

'.' 匹配任意单个字符
'*' 匹配零个或多个前面的那一个元素（将其理解为*号，某字符*表示可以有n个该字符）
每次出现字符 * 时，前面都匹配到有效的字符（只有a~z*、.*两种情况）

注意事项：字符*，变化的多出来的字符是向后延申的

条件解析与示例分析：

示例1：s = "aa"、p = "a"，可匹配

示例2：s = "aa"、p = "a*"，a*是一个整体，可以表示0~n个a，可匹配

示例3：s = "ab"、p = ".*"，.*是一个整体，可以表示0~n个.，每个.可代表任意字符，可匹配

示例4：s = "aab"、p = "d*a*b"，将d*视为一个空串，a*表示两个a，b不变，可匹配

状态表示

分析：由题意得我们可以要判断的是p中[0,j]范围内的字符是否能匹配s中[0,i]范围内的字符，涉及了两个数组间情况得判断

结论：状态转移方程为dp[i][j]，该方程表示p[0,j]范围内的子串是否可以匹配s[0,j]范围内的子串

状态转移方程

主旨：根据p数组最后位置的取值进行分情况讨论（s[i]和p[j]分别表示s和p数组最后位置的字符）

①p[j]是a~z的字符

满足 p[j] == s[i] && dp[i-1][j-1] == true 时dp[i][j]为真（当前和之前所有位置都为真）

②p[j]是字符.

满足dp[i-1][j-1]==true，则dp[i][j]为真（只要之前均为真，.必可使最后一个位置也相同）

③p[j]是*

③①p[j-1]是.

③①①.*表示空串

此时p[j-1]和p[j]位置报废，若dp[i][j-2]为真则dp[i][j]为真，即p的[0,j-2]范围内的字符能否与s的[0,i]范围内的字符匹配

③①②.*表示一个.

此时p[j]位置报废p[j-1]位置为.，若dp[i-1][j-2]为真则dp[i][j]为真，即p的[0,j-2]范围内的字符能否与s的[0,i-1]范围内的字符匹配，因为p[j-1]位置的.能表示任意字符，故s[i-1]位置不论是什么字符dp[i-1][j-1]一定为真

③①③.*表示两个.

此时p[j]和p[j-1]位置均为.，若dp[i-2][j-2]为真则dp[i][j]为真，即p的[0,j-2]范围内的字符能否与s的[0,i-2]范围内的字符匹配，因为p[j]和p[j-1]位置的.能表示任意字符，故s[i]h和s[i-1]位置不论是什么字符dp[i][j]和dp[i-1][j-1]一定为真

③①④.*表示三个.

此时p[j]和p[j-1]均为甚至p[j+1]位置均为.，若dp[i-3][j-2]为真则dp[i][j]为真，即p的[0,j-2]范围内的字符能否与s的[0,i-3]范围内的字符匹配...（都一样不重复解释了）

③②p[j-1]是a~z的字符

③②①字符*表示空串

此时p[j-1]和p[j]位置报废，若dp[i][j-2]为真则dp[i][j]为真（与上面一样了，不解释了）

③②②判断j-1位置的字符是否与i位置相同（p[j-1] == s[i]）

相同则保留字符*的状态，此时若dp[i-1][j]为真则dp[i][j]为真，因为s[j-1]位置上的字符与i位置匹配后因为可以用*造出很多个该字符，所以只需考虑p[0,j]范围内的字符能否与s[0,i-1]范围内的字符匹配即可（而判断这一个范围内的情况，就需要再次到③②②这种情况来进行判断），如果均匹配则让*造字符时多加一个该字符即可

优化③①情况

优化结果：当p[j]为*、p[j-1]为.时，dp[i][j] = dp[i][j-2] || dp[i-1][j]

初步分析：由③①中的多条结论可以得出，当满足其中一个结论时，dp[i][j]就为真，因为此时p[j-1]和p[j]的组合为.*，如果dp[i][j-2]为真，那么.*只需要创建出一个.即可，如果dp[i-3][j-2]为真，那么.*只需要创建出三个.即可，即只要前面的相等，后面的.*就绝对可以保证后面的所有都相等，即：①p[j] == '*'时，dp[i][j] = dp[i][j-2] || dp[i-1][j-2] || dp[i-2][j-2] ...，但是这个式子还是有点长，那么是否能继续化简一下？

数学化简分析

我们令i=i-1，重新套入上面的式子可得：

②p[j] == '*'时，dp[i-1][j] = dp[i-1][j-2] || dp[i-2][j-2] || dp[i-3][j-2] ...

我们发现，满足dp[i-1][j]为真需要满足dp[i-1][j-2] || dp[i-2][j-2] || dp[i-3][j-2] ...的某个条件为真，而该条件与①中的后半部分完全相同，由简单的数学等价替换就可以得到我们优化③①情况的优化结果

结合实际情况画图化简分析

当p[j]为*、p[j-1]为.时，我们可以分为两种情况：

情况一：当.*组合与s[i]相同后后不变化仍然保留.*组合，接着比较s[i-1]，如果dp[i-1][j]为真则dp[i][j]为真（s的[0,i-1]范围内的字符与p[0,j]范围内的字符可以匹配）

情况二：将.*视为一个空串，那么此时如果dp[i][j-2]为真，则dp[i][j]也就为真

总结

1、①和②可以总结为一种情况：当p[j]==s[i] 或者 p[j]==. 为真且dp[i-1][j-1]为真（两个的末尾都匹配了或者 p的末尾为.时无论s的末尾为什么字符都能匹配），那么dp[i][j]就为真

2、③可以总结为：当 dp[i][j-2] 为真或者（p[j-1] == '.' || p[j-1] == s[i]）一个为真且 dp[i-1][j] 为真，则dp[i][j]为真（整合后p[j]==*时引发的所有结论，可以发现这些结论的本质就是围绕p[j-1]*的组合是空串还是非空串进行研究并得出结论的）

p[j-1]*的组合为空：由上图的分析得，当p[j]为*时一定有“某字符*”是空串的情况，故可以将③①和③②为空的情况合并得到判断dp[i][j]是否为空的一个条件dp[i][j-2]
p[j-1]*的组合不为空：当p[j-1]为.时该组合为“.*”，此时只要dp[i-1][j]为真即可（上面优化里的当dp[j]为*、p[j-1]为.时dp[i][j]为真的两个条件dp[i][j-2] || dp[i-1][j]，p[j-1]*组合为空时候占用了一个dp[i][j-2]，现在就剩下另一个条件了，当然如果你不信也可以再推一遍），当p[j-1]为a~z的字符时该组合为“a~z的字符*”，此时也是只需要dp[i-1][j]为真即可

最终代码

class Solution {
public:bool isMatch(string s, string p) {int m = s.size(),n = p.size();//二者大小不一样相同//1、创建dp表vector<vector<bool>> dp(m+1,vector<bool>(n+1));//创建一个m行n列的dp表，+1是为了创建辅助行//2、初始化s = ' ' + s,p = ' ' + p;//加上一行辅助位，此时字符串下标和dp表下标一致，不需要在填表时做下标-1的操作//先填写左上角的辅助行为true，处理特殊情况，即当s为空时，根据p中字符*的情况得到匹配结果（准备工作）dp[0][0] =true;//更新dp表for(int j = 2;j<=n;j+=2)if(p[j]=='*') dp[0][j] =true;else break;//3、填表for(int i = 1;i <= m;i++){for(int j = 1;j <= n;j++){//p[j]为*L:③的所有情况得到的结论if(p[j] == '*'){dp[i][j] = dp[i][j-2] || (p[j-1] == '.' || p[j-1] == s[i]) && dp[i-1][j];}//p[j]不为*:①②两种情况得到的结论else{dp[i][j] = (p[j] == s[i] || p[j] == '.')&&dp[i-1][j-1];}}}//4、返回值return dp[m][n];//题目要求的是完全匹配，所以判断范围为[0,m]和[0,n];}
};