数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性，该点就是奇异点。奇异性反映了信号的不规则程度，因为信号的奇异点和突变部分往往携带者重要信息，因此信号的奇异性检测非常有必要。信号的奇异性由Lipschitz指数来描述和衡量。
通常情况下，信号的奇异性可分为两种情况：一种是信号在某一时刻，其幅值发生突变，引起信号的不连续性，另一种是信号外观上光滑，其幅值没有突变，但是在信号的一阶微分上有突变产生。Fourier变换是研究函数奇异性的基本工具，但它只能确定信号是否具有奇异性和奇异性的强弱，而不能确定奇异点的分布情况及奇异点的位置。由于小波变换理论在时域和频域良好的局部化或近似局部化性质，因此小波变换作为检测信号奇异性的工具，较好地解决了信号奇异检测的问题。
当小波函数可看做某一平滑函数的一阶导数时，信号小波变换模的局部极值点对应于信号的突变点（或边缘），因此，采用检测小波变换系数模的过零点和局部极值点的方法可以检测信号的突变点。
鉴于此，采用小波模极大值分解与重建对一维时间序列信号进行处理，运行环境为matlab R2018A，主运行代码如下：
%% 小波模极大值重构是采用的交替投影法
close all;
points = 1024; % 所处理数据的长度
level = 6; % 分解的级数
sr = 360; % 抽样率， P gama投影要用的
num_inter = 6; % 迭代次数
wf='db3'; % 小波名称
[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters(wf);% 得到小波变换要用的滤波器
%ecgdata = load('ecg.txt'); %需要分析的信号
%signal = ecgdata(1:points,3)';% 取第3列，不懂可以打开ecg.txt看一下% 这个信号是可以换的，做过一个信号文件就可以。
%signal = signal * 300; % 乘以300，数据大一点显示出来漂亮一点，不为什么
%调用wave_peak进行小波变换，计算小波分解系数和模极大序列
signal = signal_fig1;
[swa,swd,ddw,wpeak] = wave_peak(signal,level,Lo_D,Hi_D);
% signal: 原始信号; swa:小波概貌; swd:小波细节;
% ddw: 局部极大位置; wpeak:小波变换的局部极大序列]
% 作图：左列为各层的概略信号，右列为各层的细节信号（即小波变换）
figure;
subplot(level,1,1); plot(real(signal)); grid on;axis tight;
title('original signal(Upper）、wavelet transform (Lower left)and modulus maxima（Lower right）');
for i=1:level%概略信号subplot(level+1,3,3*(i)+1);plot(swa(i,:)); axis tight; grid on; xlabel('time');ylabel(strcat('a ',num2str(i)));%小波变换subplot(level+1,3,3*(i)+2);plot(swd(i,:)); axis tight;grid on;ylabel(strcat('d ',num2str(i)));%模极大值subplot(level+1,3,3*(i)+3);plot(wpeak(i,:)); axis tight;grid on;ylabel(strcat('j= ',num2str(i)));
endpswa = swa(level,:); % pswa: 第level层的概略信号仍然保留为重构用
wframe = (wpeak~=0); % wframe 中的1标明wpeak非零的位置，即模极大值的位置
%迭代初始化
w0=zeros(1,points); % 重构信号初始值设为0
[a,d]=swt(w0,level,Lo_D,Hi_D); % 做一次稳定小波变换，结果在a和d里面，层数level不变
w2=d; % w2为待重建小波，上一行和这一行好像可以省去for j=1:num_inter % 循环重构，d -> w2 -> w0 -> d -> w2 -> w0 -> dw2=Py_Pgama(d,wpeak,wframe,1,sr); % 先进行Py投影和 Pgama投影w0=iswt(pswa,w2,Lo_R,Hi_R); % 再进行Pv投影（小波逆变换）[a,d]=swt(w0,level,Lo_D,Hi_D); % Pvend
% 最后通过w2做逆小波变换得到重构信号：
pswa = iswt(swa(level,:),w2,Lo_R,Hi_R); % 计算重建信号% 原信号和由模极大重建信号的比较
figure,
subplot(211);
plot(pswa(1:points)); % 重构信号描图
title('The comparation between original signal (Upper) and reconstructed signal (Lower)');
subplot(212);
plot(signal(1:points),'r'); % 原始信号描图%分别计算重建小波以及原信号的信噪比
werr = w2 - swd; % 原信号的小波变换的细节部分和重构信号的细节部分的误差，即
% 原信号的小波变换（swd)和重建后的小波变换（w2）的比较
figure,
wsnr = zeros(level,1); % 存储每一层的信噪比
for m=1:level % norm为2范数，即均方值wsnr(m) = 20*log10(norm(swd(m,:))/norm(werr(m,:)));subplot(level,1,m);plot(swd(m,:)),hold on,%红色的重构小波变换覆盖在原图上plot(w2(m,:),'r');grid on;ylabel(strcat('j=',num2str(m))),axis tight;if(m==1)title('The wavelet transform of original signal (blue) and the wavelet transform of reconstructed signal (red)');end
endwsnr % 小波域计算出的各层的信噪比
err = pswa(1:points)-signal(1:points); % 时域的误差信号
mse = mean(err.^2) % 均方误差
smse = mean(signal.^2); % 信号的均方值
%完整代码：https://mbd.pub/o/bread/mbd-ZZeTmZ5u
snr = 10*log10(smse/mse) % 时域中计算的信噪比(dB值）
工学博士，担任《Mechanical System and Signal Processing》《中国电机工程学报》《控制与决策》等期刊审稿专家，擅长领域：现代信号处理，机器学习，深度学习，数字孪生，时间序列分析，设备缺陷检测、设备异常检测、设备智能故障诊断与健康管理PHM等。
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