[Algorithm][动态规划][子序列问题][最长递增子序列的个数][最长数对链]详细讲解

目录

  • 1.最长递增子序列的个数
    • 1.题目链接
    • 2.算法原理详解
    • 3.代码实现
  • 2.最长数对链
    • 1.题目链接
    • 2.算法原理详解
    • 3.代码实现


1.最长递增子序列的个数

1.题目链接

  • 最长递增子序列的个数

2.算法原理详解

  • 注意:本题思路和思维方式及用到的方法很值得考究,个人感觉很有含金量,且初见不好理解
  • 前置知识:如何在数组中一次遍历就找出最大值出现的次数?
    • x == maxValcount++
    • x < maxVal:无视
    • x > maxVal:更新最大值,重新计数
      int maxVal = nums[0], count = 1;
      for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
      {if(nums[i] == maxVal){count++;}else if(nums[i] > maxVal){maxVal = nums[i];count = 1;}
      }
      
  • 思路
    • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

      • i位置元素为结尾的所有子序列中,最长递增子序列的个数
      • 本题状态标识还可以继续划分
        • len[i]:以i位置元素为结尾的所有子序列中,最长递增子序列的"长度"
        • count[i]:以i位置元素为结尾的所有子序列中,最长递增子序列的"个数"
    • 推导状态转移方程

      • ji前面的任一一个数
        请添加图片描述
    • 初始化:vector<int> len(n, 1), count(n, 1)

    • 确定填表顺序:从左往右,两个表一起填

    • 确定返回值:前置知识部分用到的小贪心策略,见代码


3.代码实现

int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) 
{int n = nums.size();vector<int> len(n, 1), count(n, 1);int retLen = 1, retCount = 1;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j < i; j++){if(nums[j] < nums[i]){if(len[j] + 1 == len[i]){count[i] += count[j];}else if(len[j] + 1 > len[i]){len[i] = len[j] + 1;count[i] = count[j];}}}if(retLen == len[i]){retCount += count[i];}else if(retLen < len[i]){retLen = len[i];retCount = count[i];}}return retCount;
}

2.最长数对链

1.题目链接

  • 最长数对链

2.算法原理详解

  • 预处理:按照第一个元素排序
    • 此时问题就转化成了最长递增子序列了
    • 目的:保证当前位置不存在可以连在它后面的数对的后面的可能
  • 思路
    • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

      • i位置元素为结尾的所有子序列中,最长的数对链长度
    • 推导状态转移方程
      请添加图片描述

    • 初始化:vector<int> dp(n, 1)

    • 确定填表顺序:从左往右

    • 确定返回值:整个dp表里的最大值


3.代码实现

int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) 
{sort(pairs.begin(), pairs.end()); // 预处理int n = pairs.size();vector<int> dp(n, 1);int ret = 1;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j < i; j++){if(pairs[j][1] < pairs[i][0]){dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);}}ret = max(ret, dp[i]);}return ret;
}

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