1 [POI2006]OKR-Periods of Words

P3435 [POI2006] OKR-Periods of Words - 洛谷

题目描述

定义 $Q$ 为 $A$ 的周期，当且仅当 $Q$ 是 $A$ 的严格前缀，且 $A$ 是 $Q+Q$ 的前缀（$A$ 可以等于 $Q+Q$）。特别地，如果没有满足的 $Q$，$A$ 的周期为空串。

给出一个串，求出其所有前缀的最大周期长度之和。

题解

举个例子：$A=\text{abcabcab}$，$Q_{\max }=\text{abcabc}$。

实际上是把 $\text{abcabcab}$ 拆成了 $\text{abcabc}+\text{ab}$。而且，为了满足题目要求，$\text{ab}$ 还要是 $\text{abcabc}$ 的前缀。所以 $\text{ab}$ 应当是 $A$ 的公共前后缀。

不难发现，例子里的 $\text{ab}$ 就是 $A$ 的最短公共前后缀，这样才能使周期最长。所以长度为 $i$ 的前缀的最长周期是（这里公共前后缀就用 $Next$ 表示）：
max ⁡ { ∣ Q i ∣ } = i − min ⁡ { N e x t i } \max\{|Q_i|\}=i-\min\{Next_i\} max{∣Qi​∣}=i−min{Nexti​}
怎么求 min ⁡ { N e x t i } \min\{Next_i\} min{Nexti​} 呢？如果 $Nex{t}_i$ 是前缀 $A_i$ 的一个公共前后缀的长度，则 $Nex{t}_{Nex{t}_i}$ 一定也是 $A_i$ 的一个公共前后缀的长度；$Nex{t}_{Nex{t}_{Nex{t}_i}}\dots$ 可以用 $mi{n}_i$ 记录前缀 $A_i$ 的最短公共前后缀：
$$mi{n}_i=\{\begin{array}{ll}mi{n}_{Nex{t}_i}& mi{n}_{Nex{t}_i}\ne 0\\ Nex{t}_i& mi{n}_{Nex{t}_i}=0\end{array}$$
解释：通过KMP算法可得，$Nex{t}_i$ 为前缀 $A_i$ 的最长公共前后缀，所以 $mi{n}_{Nex{t}_i}$ 一定是 $A_i$ 所有的公共前后缀的最小值；如果 $mi{n}_{Nex{t}_i}$ 为 $0$ ，为了先找到满足题意的周期，再考虑无合法周期，所以要等于 $Nex{t}_i$ （当然，如果 $Nex{t}_i$ 仍然等于 $0$ ，则说明前缀 $A_i$ 确实没有合法周期，此时算作空串）。

最后答案：
$$ans=\sum _{i=1|mi{n}_i\ne 0}^{|A|}(i-mi{n}_i)$$

\\some code...
int main() {CLOSE;cin >> n >> s;s = " " + s;get_next(s);long long ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {minn[i] = minn[Next[i]];if (!minn[i])minn[i] = Next[i];if (minn[i])ans += i - minn[i];}cout << ans;return 0;
}

2 同构字符串

题目描述

同构字符串定义：若两个字符串 $S$ 和 $T$ ($|S|=|T|$)，满足一种映射关系 $f(x)$，使得 $\forall 1\le i\le |S|,f(S_i)=T_i$，则称 $S$ 和 $T$ 是同构字符串，或者说 $S$ 与 $T$ 同构。

例如，$\text{abaac}$ 和 $\text{xkxxz}$ 同构，但与 $\text{nmmtt}$ 不同构。

给定一个长为 $n$ 的字符串 $s$ （仅由小写字母组成）和 $m$ 次询问，每次询问给出 $(x,y,len)$，问 $s_{x\sim x+len-1}$ 是否和 $s_{y\sim y+len-1}$ 同构。

题解

字符串 $s$ 中每一位都由小写字母组成，所以不妨考虑用26个01串表示每一个字母的出现位置，$\text{0}$ 表示未出现，$\text{1}$ 表示出现。分别对 $s_x$ 和 $s_y$ 各求出 $26$ 个01串，比较其能否一一对应。

如果能够对应，则证明 $s_x$ 中每一种出现过的字母的位置关系都可以与 $s_y$ 中的一个字母的位置重合，这两个字母满足映射关系，一一对应说明每一个字母都有映射关系，满足题意。

比如，若 $s_x=\text{acbaa},s_y=\text{xzyxx}$：

字母	$s_x$	字母	$s_y$
$\text{a}$	$\text{10011}$	$\text{x}$	$\text{10011}$
$\text{b}$	$\text{00100}$	$\text{y}$	$\text{00100}$
$\text{c}$	$\text{01000}$	$\text{z}$	$\text{01000}$
其他	$\text{00000}$	其他	$\text{00000}$

其所有字母的位置都一一对应，满足映射关系，则 $s_x$ 和 $s_y$ 同构。

//some code...
HASH H[30];
int main() {CLOSE;cin >> n >> m >> s;for (int i = 1; i <= 26; i++)H[i].init(128, mod), t[i] = " ";s = " " + s;for (int i = 1; i <= n; i++)  //预处理出s的所有字母的01串for (char j = 'a'; j <= 'z'; j++)t[j - 'a' + 1] += (s[i] == j ? "1" : "0");for (int i = 1; i <= 26; i++)H[i].make(t[i]);while (m--) {cin >> x >> y >> len;for (int i = 1; i <= 26; i++) {  //截取出sx和sy的每个字母的01串hh1[i] = H[i].get(x, x + len - 1);  hh2[i] = H[i].get(y, y + len - 1);}sort(hh1 + 1, hh1 + 27);  //排序比较能否一一对应sort(hh2 + 1, hh2 + 27);int flag = 0;for (int i = 1; i <= 26; i++)if (hh1[i] != hh2[i])flag = 1;if (flag)cout << "NO" << endl;elsecout << "YES" << endl;}return 0;
}

3 Camp Schedule

Camp Schedule - 洛谷

题目描述

给定两个01字符串 $s,t$，求01串 $k$ ，要求 $k$ 中的 $\text{0}$ 和 $\text{1}$ 的个数分别于 $s$ 相等，且 $k$ 中包含子串 $t$ 的个数尽可能地多。

题解

求出 $t$ 的循环节 $Q$，将 $t$ 拆成 $q+Q$ 的形式，则 $k=q+Q+Q+Q+\dots$ 时包含 $t$ 的个数最多。

最后注意考虑多余的 $\text{0}$ 和 $\text{1}$ 的问题。

//some code...
void get01(int& s0, int& s1, string s) {s0 = 0, s1 = 0;for (int i = 0; i < s.size(); i++) {if (s[i] == '0')s0++;elses1++;}
}
int main() {CLOSE;cin >> s >> t;int s0, s1, t0, t1;get01(s0, s1, s);get01(t0, t1, t);t = " " + t;get_next(t);string t2 = t.substr(Next[t.size() - 1] + 1, t.size() - Next[t.size() - 1] - 1); //取出循环节int t20 = 0, t21 = 0;get01(t20, t21, t2);if (t0 <= s0 && t1 <= s1) {s1 -= t1;s0 -= t0;cout << t.substr(1, t.size() - 1);}while (s0 - t20 >= 0 && s1 - t21 >= 0) { //重复循环节cout << t2;s0 -= t20;s1 -= t21;}for (int i = 1; i <= s1; i++) cout << '1';  //剩余的0和1输出for (int i = 1; i <= s0; i++) cout << '0';return 0;
}