实验一　　熟悉MATLAB基本功能

实验的目的和要求：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。

实验内容：

１、全面了解MATLAB系统

２、实验常用工具的具体操作和功能

学习建议：

本次实验在全面了解软件系统基础之上，学习和熟悉一些MATLAB的基础用途，重点掌握优化工具箱函数选用的内容。

重点和难点：

优化工具箱函数选用。

利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。

优化工具箱中的函数

优化工具箱中的函数包括下面几类：

1**．最小化函数**

表1 最小化函数表

函 数	描 述
fgoalattain	多目标达到问题
fminbnd	有边界的标量非线性最小化
fmincon	有约束的非线性最小化
fminimax	最大最小化
fminsearch, fminunc	无约束非线性最小化
fseminf	半无限问题
linprog	线性课题
quadprog	二次课题

2**．方程求解函数**

表2 方程求解函数表

函 数	描 述
/	线性方程求解
fsolve	非线性方程求解
fzero	标量非线性方程求解

3**．最小二乘（曲线拟合）函数**

表3 最小二乘函数表

函 数	描 述
/	线性最小二乘
lsqlin	有约束线性最小二乘
lsqcurvefit	非线性曲线拟合
lsqnonlin	非线性最小二乘
lsqnonneg	非负线性最小二乘

4**．实用函数**

表4 实用函数表

函 数	描 述
optimset	设置参数
optimget

5**．大型方法的演示函数**

表5 大型方法的演示函数表

函 数	描 述
circustent	马戏团帐篷问题—二次课题
molecule	用无约束非线性最小化进行分子组成求解
optdeblur	用有边界线性最小二乘法进行图形处理

6**．中型方法的演示函数**

表6 中型方法的演示函数表

函 数	描 述
bandemo	香蕉函数的最小化
dfildemo	过滤器设计的有限精度
goaldemo	目标达到举例
optdemo	演示过程菜单
tutdemo	教程演示

下面以我们最常用的线性规划模型求解函数linprog作为典型对优化工具箱进行简单的介绍。

linprog函数

功能：求解线性规划问题。

在命令窗口，键入doc linprog,得到下图（该图为帮助窗口）

数学模型：

​

​

其中f, x, b, beq, lb和ub为向量，A 和Aeq为矩阵。

语法：

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)

描述：

x = linprog(f,A,b)求解问题 min f’x，约束条件为Ax <= b。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x = beq。若没有不等式存在，则令A=[]、b=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得x始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[]、beq=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，缺省时大型算法将忽略初值。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)用options指定的优化参数进行最小化。

[x,fval] = linprog(…) 返回解x处的目标函数值fval。

[x,lambda,exitflag] = linprog(…)返回exitflag值，描述函数计算的退出条件。

[x,lambda,exitflag,output] = linprog(…) 返回包含优化信息的输出变量output。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(…) 将解x处的拉格朗日乘子返回到lambda参数中。

变量：

lambda参数

lambda参数是解x处的拉格朗日乘子。它有以下一些属性：

 lambda.lower –lambda的下界。

 lambda.upper –lambda的上界。

 lambda.ineqlin –lambda的线性不等式。

 lambda.eqlin –lambda的线性等式。

其它参数意义同前。

算法：

大型优化算法 大型优化算法采用的是LIPSOL法，该法在进行迭代计算之前首先要进行一系列的预处理。

中型优化算法 linprog函数使用的是投影法，就象quadprog函数的算法一样。linprog函数使用的是一种活动集方法，是线性规划中单纯形法的变种。它通过求解另一个线性规划问题来找到初始可行解。

诊断：

大型优化问题 算法的第一步涉及到一些约束条件的预处理问题。有些问题可能导致linprog函数退出，并显示不可行的信息。在本例中，exitflag参数将被设为负值以表示优化失败。

若Aeq参数中某行的所有元素都为零，但Beq参数中对应的元素不为零，则显示以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: an all zero row in the constraint matrix does not have a zero in corresponding right hand size entry.

若x的某一个元素没在界内，则给出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: objective f’*x is unbounded below.

若Aeq参数的某一行中只有一个非零值，则x中的相关值称为奇异变量。这里，x中该成分的值可以用Aeq和Beq算得。若算得的值与另一个约束条件相矛盾，则给出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: Singleton variables in equality constraints are not feasible.

若奇异变量可以求解但其解超出上界或下界，则给出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: singleton variables in the equality constraints are not within bounds.

应用实例

这是matlab帮助窗口里给出的一个例子：

Find x that minimizes f(x) = –5x1 – 4x2 –6x3,subject tox1 – x2 + x3 ≤ 203x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 423x1 + 2x2 ≤ 300 ≤ x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3.First, enter the coefficientsf = [-5; -4; -6];A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);Next, call a linear programming routine.[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);Examine the solution and Lagrange multipliers:x,lambda.ineqlin,lambda.lowerx = 0.000015.00003.0000ans =0.00001.50000.5000ans =1.00000.00000.0000

下面在来用linprog解我们最优化考试的题：

Min f(x)=-3x1 + x2 + x3;S.T. x1 – 2*x2 + x3<=11-4*x1 + x2 + 2*x3 – x4=3-2*x1 + x3=1X1,x2,x3,x4>=0 ;在matlab command window中键入以下指令：f=[-3;1;1];\>> A=[1 -2 1;4 -1 -2];\>> b=[11;-3];\>> Aeq=[-2 0 1];\>> beq=1;\>> lb=zeros(3,1);\>> [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.x =4.00001.00009.0000fval =-2.0000exitflag =1