Q：写一段代码，求出两个整数的最大公约数，尽量优化算法的性能
一、暴力枚举
public static int gcd(int a,int b){int big = a > b ? a : b;int small = a < b ? a : b;if(big % small == 0){return small;}for(int i = small / 2;i > 1; i++){if(small % i == 0 && big % i == 0){return i;}}return i;
}这个方法可以实现功能，但是效率很低
假设传入的参数是 10000 和 10001，就需要循环 4999 次
二、辗转相除法（欧几里德算法）
定理：两个正整数 a 和 b（a > b）的最大公约数等于 a 除以 b 的余数 c 和 b 之间的最大公约数
public static int gcd(int a,int b){int big = a > b ? a : b;int small = a < b ? a : b;if(big % small == 0){return small;}return gcd(big % small, small);
}这种方法相对于暴力枚举性能上有所优化，但是存在一个问题：
当两个整数较大时，做 a % b 取模运算的性能会比较差
三、更相减损术
定理：两个正整数 a 和 b（a > b）的最大公约数等于 a - b 的差值 c 和较小数 b 的最大公约数
public static int gcd(int a,int b){int big = a > b ? a : b;int small = a < b ? a : b;if(big % small == 0){return small;}return gcd(big - small, small);
}这种方法避免了大整数取模可能出现的性能问题
但是，更相减损术依靠两数求差的方式来递归，运算的次数可能会远大于辗转相除法
更相减损术是不稳定的算法，当两数相差悬殊时，如计算 10000 和 1 的最大公约数需要递归 9999 次
四、最终优化
结合辗转相除法和更相减损术的优势，在更相减损术的基础上使用位移运算
总所周知，位移运算的性能非常好
当 a 和 b 均为偶数时：
gcd(a,b) = 2 * gcd(a / 2, b / 2) = 2 * gcd(a >> 1, b >> 1) 当 a 为偶数，b 为奇数时：
gcd(a,b) = gcd(a / 2, b) = gcd(a >> 1, b) 当 a 为奇数，b 为偶数时：
gcd(a,b) = gcd(a, b / 2) = gcd(a, b >> 1) 当 a 和 b 均为奇数时，先利用更相减损术运算一次：
gcd(a,b) = gcd(b, a - b)此时 a - b 必然是偶数，又可以继续进行位移运算
这种方式在两数比较小时，可能看不出计算次数的优势，当两数越大时，计算次数的减少就会越明显
public static int gcd(int a,int b){if(a == b) return a;if((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;else if((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) return gcd(a >> 1, b);else if((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) return gcd(a, b >> 1);else{int big = a > b ? a : b;int small = a < b ? a : b;return gcd(big - small, small);}
}参考资料：《漫画算法：小灰的算法之旅》
一 叶 知 秋，奥 妙 玄 心
