C++ 红黑树

目录

1.红黑树的概念

2.红黑树的性质

3.红黑树节点的定义

 4.红黑树的插入操作

 5.数据测试

1.红黑树的概念

        红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的

2.红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

  • 最短路径：由于性质4规定从任意节点到叶子节点的所有路径都包含相同数量的黑色节点，因此由纯黑色节点组成的路径将是最短路径。这是因为黑色节点是每条路径上必须包含的，而且没有其他颜色的节点可以“缩短”这条路径。
  • 最长路径：最长路径将是由红色和黑色节点交替组成的路径。由于性质3禁止了连续红色节点的出现，因此最长路径将是黑色节点与红色节点交替出现的情况。由于每条路径上的黑色节点数量相同（性质4），红色节点的插入不会增加路径上黑色节点的数量，而是增加了路径的总长度。
  • 路径长度比较：在最长路径中，每两个黑色节点之间可能插入一个红色节点，这使得最长路径的长度大致为最短路径（纯黑色节点）的两倍。这是因为在保持黑色节点数量相同的情况下，红色节点的插入只是在黑色节点之间增加了额外的节点，而这些额外的红色节点最多只能使路径长度加倍。

3.红黑树节点的定义

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;private:Node* _root = nullptr;
};
  • 成员变量：
    • _left、_right 和 _parent 分别指向节点的左子节点、右子节点和父节点。
    • _kv 是一个 pair<K, V>，存储节点的键和值。
    • _col 表示节点的颜色，可以是 RED 或 BLACK。
  • 构造函数：
    接收一个 pair<K, V> 作为参数，初始化节点的键值对，并将节点的颜色初始化为 RED。其他指针成员初始化为 nullptr。

 4.红黑树的插入操作

        我们在进行插入操作时，新节点默认是红色。红色节点的插入可能导致红黑树的性质被破坏，但通过将新节点设为红色，我们可以更容易地通过颜色变换和旋转来恢复平衡。具体来说，红色节点的插入只会影响局部区域的平衡，而黑色节点的插入则可能影响整棵树的平衡。

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转


p、g变色--p变黑，g变红
 

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（双旋）

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
则转换成了情况2
针对每种情况进行相应的处理即可。

据以上情况写代码：

}cur = new Node(kv);cur->_col = RED; // 新增节点给红色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// parent的颜色是黑色也结束while (parent && parent->_col == RED){// 关键看叔叔Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 叔叔存在且为红，-》变色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{if (cur == parent->_left){//     g  //   p   u// c RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g  //   p     u//      c RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 叔叔存在且为红，-》变色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}

代码解释：

  1. 初始化新节点:
    • 创建一个新的节点cur，并为其分配键值对kv。
    • 将新节点的颜色设置为红色（RED），因为在红黑树的规则中，新插入的节点默认为红色。
    • 根据键值对的大小，将新节点插入到其父节点的左子树或右子树。
    • 设置新节点的父节点。
  2. 调整红黑树以保持其性质:
    • 如果父节点是黑色的，那么不需要进行任何调整，因为插入红色节点不会违反红黑树的性质。
    • 如果父节点是红色的，那么需要进行调整以恢复红黑树的性质。这是通过一个循环来完成的，该循环会持续进行，直到父节点不再是红色或者已经进行了必要的调整。
  3. 调整过程:
    • 首先，根据父节点是其祖父节点的左子节点还是右子节点，分为两种情况处理。
    • 在每种情况下，都会考虑叔叔节点的颜色和存在性。
    • 如果叔叔节点是红色的，那么可以通过重新着色父节点、叔叔节点和祖父节点来恢复红黑树的性质，然后将当前节点移动到祖父节点，并更新父节点为祖父节点的父节点，继续向上调整。
    • 如果叔叔节点是黑色的或者不存在，那么需要进行旋转操作来恢复红黑树的性质。根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点，进行相应的旋转操作，并重新着色节点。
  4. 结束调整:
    • 一旦退出调整循环，将根节点着色为黑色，以确保红黑树的根节点总是黑色的性质。

以下是旋转逻辑的代码示例：

	void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}}

 5.数据测试

        为了更好的测试数据，我们需要写一个检查一棵红黑树是否满足红黑树的性质，以确保红黑树的正确性：

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum){if (root == nullptr){//cout << blackNum << endl;if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(root->_left, blackNum, refNum)&& Check(root->_right, blackNum, refNum);}

代码解释：

  1. 空节点检查：

    • 如果root是空指针（即已经到达了一个叶节点），函数会检查当前路径上的黑色节点数量blackNum是否与参考数量refNum相等。
    • 如果不相等，会输出错误信息，并返回false，表示检查失败。
    • 如果相等，则返回true，表示这条路径满足红黑树的性质。

  2. 连续红色节点检查：

    • 如果当前节点的颜色是红色，并且其父节点的颜色也是红色，那么会输出错误信息，并返回false。因为红黑树的一个关键性质是不允许有两个连续的红色节点。

  3. 黑色节点计数：

    • 如果当前节点的颜色是黑色，blackNum会递增，以记录从根节点到当前节点的路径上黑色节点的数量。

  4. 递归检查：

    • 函数会递归地对左子树和右子树进行相同的检查。
    • 如果左右子树都满足红黑树的性质（即递归调用都返回true），则整个子树满足性质，函数返回true。
    • 如果有任何一个子树不满足性质，函数返回false。

下面是红黑树的完整代码：

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED; // 新增节点给红色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// parent的颜色是黑色也结束while (parent && parent->_col == RED){// 关键看叔叔Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 叔叔存在且为红，-》变色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{if (cur == parent->_left){//     g  //   p   u// c RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g  //   p     u//      c RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 叔叔存在且为红，-》变色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root->_col == RED){return false;}int refNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){++refNum;}cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, refNum);}private:bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum){if (root == nullptr){//cout << blackNum << endl;if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(root->_left, blackNum, refNum)&& Check(root->_right, blackNum, refNum);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

数据测试：

void TestRBTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14,8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };RBTree<int, int> t1;for (auto e : a){if (e == 10){int i = 0;}t1.Insert({ e,e });cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;}t1.InOrder();cout << t1.IsBalance() << endl;
}

符合预期，代码正确。

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