第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)

第三周： 超 参 数 调 试 、 Batch 正 则 化 和 程 序 框 架（Hyperparameter tuning）

3.4 归一化网络的激活函数（Normalizing activations in a network）

在深度学习兴起后，最重要的一个思想是它的一种算法，叫做 Batch 归一化，由 Sergey loffe和Christian Szegedy 两位研究者创造。Batch归一化会使你的参数搜索问题变得很容易，使神经网络对超参数的选择更加稳定，超参数的范围会更加庞大，工作效果也很好，也会是你的训练更加容易，甚至是深层网络。让我们来看看 Batch 归一化是怎么起作用的吧。

当训练一个模型，比如 logistic 回归时，你也许会记得，归一化输入特征可以加快学习过程。你计算了平均值，从训练集中减去平均值，计算了方差，接着根据方差归一化你的数据集，在之前的视频中我们看到，这是如何把学习问题的轮廓，从很长的东西，变成更圆的东西，更易于算法优化。所以这是有效的，对 logistic 回归和神经网络的归一化输入特征值而言。

那么更深的模型呢？你不仅输入了特征值𝑥，而且这层有激活值$a^{[1]}$，这层有激活值$a^{[2]}$等等。如果你想训练这些参数，比如$w^{[3]}$，$b^{[3]}$，那归一化$a^{[2]}$的平均值和方差岂不是很好？以便使$w^{[3]}$，$b^{[3]}$的训练更有效率。在 logistic 回归的例子中，我们看到了如何归一化$x_1$，$x_2$，$x_3$，会帮助你更有效的训练w和b。

所以问题来了，对任何一个隐藏层而言，我们能否归一化a值，在此例中，比如说$a^{[2]}$的值，但可以是任何隐藏层的，以更快的速度训练$w^{[3]}$，$b^{[3]}$，因为$a^{[2]}$是下一层的输入值，所以就会影响$w^{[3]}$，$b^{[3]}$的训练。简单来说，这就是 Batch 归一化的作用。尽管严格来说，我们真正归一化的不是$a^{[2]}$，而是$z^{[2]}$，深度学习文献中有一些争论，关于在激活函数之前是否应该将值$z^{[2]}$归一化，或是否应该在应用激活函数$a^{[2]}$后再规范值。实践中，经常做的是归一化$z^{[2]}$，所以这就是我介绍的版本，我推荐其为默认选择，那下面就是 Batch 归一化的使用方法。

在神经网络中，已知一些中间值，假设你有一些隐藏单元值，从$z^{(1)}$到$z^{(m)}$，这些来源于隐藏层，所以这样写会更准确，
即$z^{[l](i)}$为隐藏层，𝑖从 1 到𝑚，但这样书写，我要省略𝑙及方括号，以便简化这一行的符号。所以已知这些值，如下，你要计算平均值，强调一下，所有这些都是针对𝑙层，但我省略𝑙及方括号，然后用正如你常用的那个公式计算方差，接着，你会取每个𝑧(𝑖)值，使其规范化，方法如下，减去均值再除以标准偏差，为了使数值稳定，通常将$ϵ$作为分母，以防防𝜎 = 0的情况。

所以现在我们已把这些z值标准化，化为含平均值 0 和标准单位方差，所以𝑧的每一个分量都含有平均值 0 和方差 1，但我们不想让隐藏单元总是含有平均值 0 和方差 1，也许隐藏单元有了不同的分布会有意义，所以我们所要做的就是计算，我们称之为${\hat{z}}^{(i)}$，${\hat{z}}^{(i)}=\gamma z_{norm}^{(i)}+\beta$，这里𝛾和𝛽是你模型的学习参数，所以我们使用梯度下降或一些其它类似梯度下降的算法，比如 Momentum 或者 Nesterov，Adam，你会更新𝛾和𝛽，正如更新神经网络的权重一样。

请注意𝛾和𝛽的作用是，你可以随意设置𝑧̃(𝑖)的平均值，事实上，如果$\gamma =\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}$ ，如果𝛾等于这个分母项（$z_{norm}^{(i)}=\frac{z^{(i)}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}}$中的分母），$\beta$等于$\mu$，这里的这个值是$z_{norm}^{(i)}=\frac{z^{(i)}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}}$中的$\mu$，那么$\gamma z_{norm}^{(i)}+\beta$的作用在于，它会精确转化这个方程，如果这些成立（$\gamma =\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}$, $\beta =\mu$），那么${\hat{z}}^{(i)}=z^{(i)}$。

通过对𝛾和𝛽合理设定，规范化过程，即这四个等式，从根本来说，只是计算恒等函数，通过赋予𝛾和𝛽其它值，可以使你构造含其它平均值和方差的隐藏单元值。

所以，在网络匹配这个单元的方式，之前可能是用$z^{(1)}$，$z^{(2)}$等等，现在则会用${\hat{z}}^i$取代$z^{(i)}$，方便神经网络中的后续计算。如果你想放回[𝑙]，以清楚的表明它位于哪层，你可以把它放这。

所以我希望你学到的是，归一化输入特征X是怎样有助于神经网络中的学习，Batch 归一化的作用是它适用的归一化过程，不只是输入层，甚至同样适用于神经网络中的深度隐藏层。你应用 Batch 归一化了一些隐藏单元值中的平均值和方差，不过训练输入和这些隐藏单元值的一个区别是，你也许不想隐藏单元值必须是平均值 0 和方差 1。

比如，如果你有 sigmoid 激活函数，你不想让你的值总是全部集中在这里，你想使它们有更大的方差，或不是 0 的平均值，以便更好的利用非线性的 sigmoid 函数，而不是使所有的值都集中于这个线性版本中，这就是为什么有了𝛾和𝛽两个参数后，你可以确保所有的$z^{(i)}$值可以是你想赋予的任意值，或者它的作用是保证隐藏的单元已使均值和方差标准化。那里，均值和方差由两参数控制，即𝛾和𝛽，学习算法可以设置为任何值，所以它真正的作用是，使隐藏单元值的均值和方差标准化，即$z^{(i)}$有固定的均值和方差，均值和方差可以是 0 和 1，也可以是其它值，它是由𝛾和𝛽两参数控制的。

我希望你能学会怎样使用 Batch 归一化，至少就神经网络的单一层而言，在下一个视频中，我会教你如何将 Batch 归一化与神经网络甚至是深度神经网络相匹配。对于神经网络许多不同层而言，又该如何使它适用，之后，我会告诉你，Batch 归一化有助于训练神经网络的原因。所以如果觉得 Batch 归一化起作用的原因还显得有点神秘，那跟着我走，在接下来的两个视频中，我们会弄清楚。

3.5 将 Batch Norm 拟合进神经网络（Fitting Batch Norm into a neural network）

你已经看到那些等式，它可以在单一隐藏层进行 Batch 归一化，接下来，让我们看看它是怎样在深度网络训练中拟合的吧。

假设你有一个这样的神经网络，我之前说过，你可以认为每个单元负责计算两件事。第一，它先计算z，然后应用其到激活函数中再计算a，所以我可以认为，每个圆圈代表着两步的计算过程。同样的，对于下一层而言，那就是$z_1^{[2]}$和$z_2^{[2]}$等。所以如果你没有应用 Batch 归一化，你会把输入𝑋拟合到第一隐藏层，然后首先计算$z^{[1]}$，这是由$w^{[1]}$和$b^{[1]}$两个参数控制的。接着，通常而言，你会把$z^{[1]}$拟合到激活函数以计算$a^{[1]}$。但 Batch 归一化的做法是将$z^{[1]}$值进行 Batch 归一化，简称 BN，此过程将由${\beta }^{[1]}$和${\gamma }^{[1]}$两参数控制，这一操作会给你一个新的规范化的$z^{[1]}$值（${\hat{z}}^{[}1]$），然后将其输入激活函数中得到$a^{[1]}$，即$a^{[1]}=g^{[1]}({\hat{z}}^{[l]})$。

现在，你已在第一层进行了计算，此时 Batch 归一化发生在𝑧的计算和𝑎之间，接下来，你需要应用$a^{[1]}$值来计算$z^{[2]}$，此过程是由$w^{[2]}$和$b^{[2]}$控制的。与你在第一层所做的类似，你会将$z^{[2]}$进行 Batch 归一化，现在我们简称 BN，这是由下一层的 Batch 归一化参数所管制的，即${\beta }^{[2]}$和${\gamma }^{[2]}$，现在你得到${\hat{z}}^{[2]}$，再通过激活函数计算出$a^{[2]}$等等。

所以需要强调的是 Batch 归一化是发生在计算𝑧和𝑎之间的。直觉就是，与其应用没有归一化的𝑧值，不如用归一过的$\hat{z}$，这是第一层（${\hat{z}}^{[1]}$）。第二层同理，与其应用没有规范过的$z^{[2]}$值，不如用经过方差和均值归一后的${\hat{z}}^{[2]}$。所以，你网络的参数就会是$w^{[1]}$，$b^{[1]}$，$w^{[2]}$和$b^{[2]}$等等，我们将要去掉这些参数。但现在，想象参数$w^{[1]}$，$b^{[1]}$到$w^{[l]}$，$b^{[l]}$，我们将另一些参数加入到此新网络中${\beta }^{[1]}$，${\beta }^{[2]}$，${\gamma }^{[1]}$，${\gamma }^{[2]}$等等。对于应用 Batch 归一化的每一层而言。需要澄清的是，请注意，这里的这些$\beta$（${\beta }^{[1]}$，${\beta }^{[2]}$等等）和超参数$\beta$没有任何关系，下一张幻灯片中会解释原因，后者是用于 Momentum 或计算各个指数的加权平均值。Adam 论文的作者，在论文里用$\beta$代表超参数。Batch 归一化论文的作者，则使用$\beta$代表此参数（${\beta }^{[1]}$，${\beta }^{[2]}$等等），但这是两个完全不同的$\beta$。我在两种情况下都决定使用$\beta$，以便你阅读那些原创的论文，但 Batch 归一化学习参数${\beta }^{[1]}$，${\beta }^{[2]}$等等和用于 Momentum、Adam、RMSprop 算法中的𝛽不同。

所以现在，这是你算法的新参数，接下来你可以使用想用的任何一种优化算法，比如使用梯度下降法来执行它。

举个例子，对于给定层，你会计算$d{\beta }^{[l]}$，接着更新参数$\beta$为${\beta }^{[l]}$ = ${\beta }^{[l]}$ − $\alpha d{\beta }^{[l]}$。你也可以使用 Adam 或 RMSprop 或 Momentum，以更新参数$\beta$和𝛾，并不是只应用梯度下降法。

即使在之前的视频中，我已经解释过 Batch 归一化是怎么操作的，计算均值和方差，减去均值，再除以方差，如果它们使用的是深度学习编程框架，通常你不必自己把 Batch 归一化步骤应用于 Batch 归一化层。因此，探究框架，可写成一行代码，比如说，在 TensorFlow框架中，你可以用这个函数（tf.nn.batch_normalization）来实现 Batch 归一化，我们稍后讲解，但实践中，你不必自己操作所有这些具体的细节，但知道它是如何作用的，你可以更好的理解代码的作用。但在深度学习框架中，Batch 归一化的过程，经常是类似一行代码的东西。

所以，到目前为止，我们已经讲了 Batch 归一化，就像你在整个训练站点上训练一样，或就像你正在使用 Batch 梯度下降法。

实践中，Batch 归一化通常和训练集的 mini-batch 一起使用。你应用 Batch 归一化的方式就是，你用第一个 mini-batch(X^{{1}})，然后计算$z^{[1]}$，这和上张幻灯片上我们所做的一样，应用参数$w^{[1]}$和$b^{[1]}$，使用这个 $mini-batch(X^1)$。接着，继续第二个 mini-batch(X^{{2}})，接着Batch 归一化会减去均值，除以标准差，由${\beta }^{[1]}$和${\gamma }^{[1]}$重新缩放，这样就得到了${\hat{z}}^{[1]}$，而所有的这些都是在第一个 mini-batch 的基础上，你再应用激活函数得到$a^{[1]}$。然后用$w^{[2]}$和$b^{[2]}$计算$z^{[2]}$，等等，所以你做的这一切都是为了在第一个 mini-batch($X^1$)上进行一步梯度下降法。

类似的工作，你会在第二个 mini-batch（KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 7: X^[{2}}̲）上计算$z^{[1]}$，然后用 Batch 归一化来计算${\hat{z}}^{[1]}$，所以 Batch 归一化的此步中，你用第二个 mini-batch（KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 7: X^[{2}}̲）中的数据使${\hat{z}}^{[1]}$归一化，这里的 Batch 归一化步骤也是如此，让我们来看看在第二个 mini-batch（$X^2$）中的例子，在mini-batch 上计算$z^{[1]}$的均值和方差，重新缩放的$\beta$和$\gamma$得到$z^{[1]}$，等等。

然后在第三个 mini-batch（$X^3$）上同样这样做，继续训练。

现在，我想澄清此参数的一个细节。先前我说过每层的参数是$w^{[l]}$和$b^{[l]}$，还有${\beta }^{[l]}$和${\gamma }^{[l]}$，请注意计算𝑧的方式如下，$z^{[l]}$ = $w^{[l]}{a}^{[l-1]}+b^{[l]}$，但 Batch 归一化做的是，它要看这个 mini-batch，先将$z^{[l]}$归一化，结果为均值 0 和标准方差，再由$\beta$和$\gamma$重缩放，但这意味着，无论$b^{[l]}$的值是多少，都是要被减去的，因为在 Batch 归一化的过程中，你要计算$z^{[l]}$的均值，再减去平均值，在此例中的 mini-batch 中增加任何常数，数值都不会改变，因为加上的任何常数都将会被均值减去所抵消。

所以，如果你在使用 Batch 归一化，其实你可以消除这个参数（$b^{[l]}$），或者你也可以，暂时把它设置为 0，那么，参数变成$z^{[l]}$ = $w^{[l]}{a}^{[l-1]}$，然后你计算归一化的$z^{[l]}$，${\hat{z}}^{[l]}$ = ${\gamma }^{[l]}$$z^{[l]}$+${\beta }^{[l]}$，你最后会用参数${\beta }^{[l]}$，以便决定${\hat{z}}^{[l]}$的取值，这就是原因。

所以总结一下，因为 Batch 归一化超过了此层$z^{[l]}$的均值，𝑏[𝑙]这个参数没有意义，所以，你必须去掉它，由${\beta }^{[l]}$代替，这是个控制参数，会影响转移或偏置条件。

最后，请记住$z^{[l]}$的维数，因为在这个例子中，维数会是($n^{[l]}$, 1)，${\beta }^{[l]}$的尺寸为($n^{[l]}$, 1)，如果是 l 层隐藏单元的数量，那${\beta }^{[l]}$和${\gamma }^{[l]}$的维度也是($n^{[l]}$, 1)，因为这是你隐藏层的数量，你有$n^{[l]}$隐藏单元，所以${\beta }^{[l]}$和${\gamma }^{[l]}$用来将每个隐藏层的均值和方差缩放为网络想要的值。

让我们总结一下关于如何用 Batch 归一化来应用梯度下降法，假设你在使用 mini-batch梯度下降法，你运行𝑡 = 1到 batch 数量的 for 循环，你会在 mini-batch $X^t$上应用正向 prop，每个隐藏层都应用正向 prop，用 Batch 归一化代替$z^{[l]}$为${\hat{z}}^{[l]}$。接下来，它确保在这个 mini-batch 中，𝑧值有归一化的均值和方差，归一化均值和方差后是${\hat{z}}^{[l]}$，然后，你用反向 prop 计算$d{w}^{[l]}$和$d{b}^{[l]}$，及所有 l 层所有的参数，$d{\beta }^{[l]}$和$d{\gamma }^{[l]}$。尽管严格来说，因为你要去掉𝑏，这部分其实已经去掉了。最后，你更新这些参数：$w^{[l]}$= $w^{[l]}-\alpha d{w}^{[l]}$，和以前一样，${\beta }^{[l]}$= ${\beta }^{[l]}-\alpha d{\beta }^{[l]}$，对于𝛾也是如此${\gamma }^{[l]}$= ${\gamma }^{[l]}-\alpha d{\gamma }^{[l]}$。

如果你已将梯度计算如下，你就可以使用梯度下降法了，这就是我写到这里的，但也适用于有 Momentum、RMSprop、Adam 的梯度下降法。与其使用梯度下降法更新 mini-batch，你可以使用这些其它算法来更新，我们在之前几个星期中的视频中讨论过的，也可以应用其它的一些优化算法来更新由 Batch 归一化添加到算法中的$\beta$ 和$\gamma$参数。

我希望，你能学会如何从头开始应用 Batch 归一化，如果你想的话。如果你使用深度学习编程框架之一，我们之后会谈。希望，你可以直接调用别人的编程框架，这会使 Batch归一化的使用变得很容易。

现在，以防 Batch 归一化仍然看起来有些神秘，尤其是你还不清楚为什么其能如此显著的加速训练，我们进入下一个视频，详细讨论 Batch 归一化为何效果如此显著，它到底在做什么。