$[POI2008]STA-Station(树形dp)$

题目链接：[P3478 POI2008] STA-Station - 洛谷

题意

给定一个$n$个点的树，请求出一个结点，使得以这个结点为根时，所有结点的深度之和最大。

一个结点的深度之定义为该节点到根的简单路径上边的数量。

数据范围

• $1\le n\le 10^6$
• $1\le u,v\le n$

思路

这是一道比较经典的树形dp问题。

假设以$x$点作为根节点，$y$是$x$的一个子节点；并令$b[x]$为x节点的子节点个数，$res[x]$为以$x$作为根节点时的深度之和，$dep[x]$为x的深度。

那么我们可以计算出，若将跟节点从$x$换为$y$，那么可以得到：$res[y]=res[x]-b[y]+(n-b[y])$。

• $-b[y]$是因为其每个后代节点的度都减小$1$。
• $+(n-b[y])$是因为$x$的每个后代节点都增加$1$。

并且，我们首先设$1$为根节点，然后通过一次$dfs$求出$dep[],b[]$；由每个点的深度我们可以求出$res[1]$。然后再从1开始$dfs$一次求出所有节点的$res[]$。最后比较哪个节点的$res[]$值最大即可。

标程

#define int long long 
const int N = 1e6 + 10; int n, b[N], dep[N], res[N];
vector<int> a[N];void dfs1(int x, int y) {dep[x] = dep[y] + 1;b[x] = 1;for(auto i : a[x]) {if(i == y) continue;dfs1(i, x);b[x] += b[i];}
}void dfs2(int x, int y) {for(auto i : a[x]) {if(i == y) continue;res[i] = res[x] + b[1] - 2 * b[i];dfs2(i, x);}
}void Solved() { cin >> n;for(int i = 1; i < n; i ++ ) {int x, y; cin >> x >> y;if(x == y) continue;a[x].push_back(y); a[y].push_back(x);}dfs1(1, 0);for(int i = 1; i <= n; i ++ ) res[1] += dep[i];dfs2(1, 0);int t = 1, mx = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {if(res[i] > mx) t = i, mx = res[i];}cout << t << endl;
}