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有一个n×n的方阵matrix。从这个矩阵的最上面那一行的某一个元素开始，下降到最下面那一行的某一个元素。每次只能走到左下方、正下方和右下方这三者之一，也就是说，从(i,j)只能到达(i+1,j-1)、(i+1,j)和(i+1,j+1)这三者之一。请问，经过的路径上的所有元素的最小和是多少？
我们用动态规划来解决这个问题。创建dp表，先确定状态表示，我们用dp[i][j]表示下降到(i,j)位置的最小和。那么，考虑最近的一步，只有可能是从左上方、正上方和右上方这三者之一下降到该位置。也就是说，要想下降到(i,j)，可以先从最上面那一行下降到(i-1,j-1)、(i-1,j)和(i-1,j+1)这三者之一，再下降到(i,j)，再根据要求的是最小和，推导出状态转移方程：dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+matrix[i][j],dp[i-1][j]+matrix[i][j],dp[i-1][j+1]+matrix[i][j])=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])+matrix[i][j]。
接着考虑初始化的问题。为了防止越界，需要提前初始化最左边那一列、最上面那一行和最右边那一列。
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? ?为了更加优雅地解决这个问题，我们在最左边、最上边和最右边加上两列一行。
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* ? ? *显然，dp的第一行?和matrix的第一行是相同的。为了满足：dp的每一个位置都是上边的三个位置的最小值加上matrix这个位置的值，可以把第一行初始化成0。
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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* ? ? *求每个位置上边三个位置的最小值时，最左边和最右边两列的*不能影响结果，只需要把这些*初始化成+∞。由于在原来的dp表中加上了两列一行，dp表的(i,j)应该对应matrix的(i-1,j-1)。根据状态转移方程，每个位置的值只和上边的3个数相关，所以应从上往下填表，确保在填到某一个位置时，它上边的三个位置的值已经填完了。最后，应返回dp表最后一行的最小值。
class Solution
{
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix){int n = matrix.size();// 创建dp表vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));// 初始化for (int i = 0; i < n + 2; i++)dp[0][i] = 0;// 填表for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];// 求dp表最后一行的最小值int ret = INT_MAX;for (int i = 1; i <= n; i++)ret = min(ret, dp[n][i]);return ret;}
};
