【C++】学习笔记——二叉搜索树

文章目录

  • 十四、二叉搜索树
    • 1. 二叉搜索树的概念
    • 2. 二叉搜索树的实现
      • 查找
      • 插入
      • 中序遍历
      • 删除
      • 拷贝构造
      • 析构函数
      • 赋值重载
      • 完整代码
    • 3. 二叉搜索树的应用
      • K搜索模型
      • KV搜索模型
  • 未完待续

十四、二叉搜索树

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
它的左右子树也分别为二叉搜索树。

在这里插入图片描述

二叉搜索树的查找非常方便，最多查找 树的高度 次就能找到，他还有一个隐藏特点：二叉搜索树的中序遍历是有序的。

2. 二叉搜索树的实现

二叉搜索树，树是一种结构，需要用类来定义，节点也是一种结构，需要另一个类来定义。节点对数来说是完全公开的，所以节点我们使用 struct 。我们创建一个头文件：BinarySearchTree.h ，在里面先编写一个框架出来：

#pragma once// struct BinarySearchTreeNode
// 节点结构体
template<class K>
struct BSTreeNode // 采用缩写
{typedef BSTreeNode<K> Node;// 指向左孩子的指针Node* _left;// 指向右孩子的指针Node* _right;// 关键字（存储的数据）K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key)
{}
};//class BinarySearchTree
// 二叉搜索树类
template<class K>
class BSTree // 采用缩写
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public://
private:Node* _root = nullptr;
};

查找

二叉搜索树非常适合查找，逻辑也非常简单。通过不断与当前节点比较而选择进入左子树或者右子树。

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;// cur处有节点while (cur){// 要查找的值比当前节点的值要小if (key < cur->_key){// 前往左子树cur = cur->_left;}//要查找的值比当前节点的值要大else if (key > cur->_key){// 前往右子树cur = cur->_right;}// 相等时else{return true;}}// 没找到return false;
}

在这里插入图片描述

插入

插入也是比较简单的，当插入的关键字已存在时，现阶段没有多大用处，我们就插入已有的关键字，当关键字不存在时，也是一种查找，当 找到空位置 时，该位置就可以插入。唯一需要注意的是，需要使用一个指针指向插入位置的父节点，否则无法进行节点之间的连接。

bool Insert(const K& key)
{// 注意空树if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 现阶段不插入相同的值return false;}}// 创建新节点cur = new Node(key);if (key < parent->_key){// 新节点插在左子树parent->_left = cur;}else{// 新节点插在右子树parent->_right = cur;}return true;
}

中序遍历

中序遍历需要借助当前节点，所以需要一个形参，但是根节点又是属于类的私有成员变量，在外部无法访问，所以我们需要嵌套一层函数来访问。

// private内
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);std::cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);
}// 套一层函数来获取根节点
// public内
void InOrder()
{_InOrder(_root);std::cout << std::endl;
}

我们来测试一下：创建一个源文件 Test.cpp。

#include <iostream>
#include "BinarySearchTree.h"
using namespace std;int main(void)
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();return 0;
}

在这里插入图片描述
二叉搜索树的中序遍历确实是有序的，看来前面的函数都没有问题。

删除

前面的函数其实都是比较简单的，二叉搜索树的删除会比较困难。二叉搜索树的删除分为三种情况：

  1. 删除没有孩子节点的节点。
    在这里插入图片描述
    比如删除上图中的 1 4 7 13 。这种情况最简单，直接删掉即可。
  2. 删除只有一个孩子的节点。
    在这里插入图片描述
    如上图中的 10 14 。这种情况也算是比较简单的，比如说我们要删除 14 。我们只需要将 14 的孩子 托付给 14 的父节点 即可。
    在这里插入图片描述
  3. 删除有两个孩子的节点。


比如删除上图中的 8 3 6 。这种情况最为复杂，也最难。这种情况该怎么删除呢？有一种方法叫做 替换删除法 ，比如说我要删除 3 ，我可以从 3 的孩子里找出能够替换掉 3 的节点，即 左子树中的最右侧（最大）的节点，或者右子树中的最左侧（最小）的节点 。这两个节点与被删除的节点替换都可以完成删除操作。
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

其实情况1和情况2差不多，因为情况1同样可以理解为将 空托付给父节点 。

bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}// 找到了要删除的节点else{// 左子树为空，托付右子树if (cur->_left == nullptr){if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}// 右子树为空，托付左子树else if (cur->_right == nullptr){if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}// 都不为空使用替换删除法else{// 这里采用的是 找右子树的最小节点Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 赋值cur->_key = rightMin->_key;// 托付if (rightMin == rightMinParent->_left){rightMinParent->_left = rightMin->_right;}else{rightMinParent->_right = rightMin->_right;}delete rightMin;return true;}}}return false;
}

上面的函数有两个小细节，①假如删除8，则其右孩子 10 就是要删除的节点，所以 rightMinParent 不能初始化为 nullptr。②假如删除8，则其右孩子 10 就是要删除的节点，此时 10 是 8 的右节点，所以 rightMin 不一定是 rightMinParent 的左节点。
测试一下：

#include <iostream>
#include "BinarySearchTree.h"
using namespace std;int main(void)
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();t.Erase(8);t.InOrder();return 0;
}

在这里插入图片描述
已经没有问题了吗？NoNoNo，当要删除的节点是根节点，并且只有左子树或者只有右子树时就会出问题了。此时 Parent 为 nullptr 但是被解引用了，所以我们需要加一下判断：

bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}// 找到了要删除的节点else{// 左子树为空，托付右子树if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;return true;}// 右子树为空，托付左子树else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;return true;}// 都不为空使用替换删除法else{// 这里采用的是 找右子树的最小节点Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 赋值cur->_key = rightMin->_key;// 托付if (rightMin == rightMinParent->_left){rightMinParent->_left = rightMin->_right;}else{rightMinParent->_right = rightMin->_right;}delete rightMin;return true;}}}return false;
}

拷贝构造

由于默认生成的拷贝构造函数是浅拷贝，直接拷贝构造会导致两个对象指向同一个二叉搜索树，我们要实现深拷贝所以要手动写一个拷贝构造函数。

// 强制生成默认构造函数
BSTree() = default;// 拷贝构造函数
BSTree(const BSTree<K>& t)
{_root = Copy(t._root);
}// private内
Node* Copy(Node* root)
{if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;
}

析构函数

~BSTree()
{Destroy(_root);
}// private内
void Destroy(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;
}

测试一下：

#include <iostream>
#include "BinarySearchTree.h"
using namespace std;int main(void)
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();BSTree<int> t1(t);t1.InOrder();return 0;
}

在这里插入图片描述

赋值重载

BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{std::swap(_root, t._root);return *this;
}

完整代码

#pragma once// struct BinarySearchTreeNode
template<class K>
struct BSTreeNode
{typedef BSTreeNode<K> Node;// 指向左孩子的指针Node* _left;// 指向右孩子的指针Node* _right;// 关键字（存储的数据）K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}
};//class BinarySearchTree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:// 强制生成默认构造函数BSTree() = default;// 拷贝构造函数BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy(t._root);}BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t){std::swap(_root, t._root);return *this;}// 析构函数~BSTree(){Destroy(_root);}bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 现阶段不插入相同的值return false;}}// 创建新节点cur = new Node(key);if (key < parent->_key){// 新节点插在左子树parent->_left = cur;}else{// 新节点插在右子树parent->_right = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;// cur处有节点while (cur){// 要查找的值比当前节点的值要小if (key < cur->_key){// 前往左子树cur = cur->_left;}//要查找的值比当前节点的值要大else if (key > cur->_key){// 前往右子树cur = cur->_right;}// 相等时else{return true;}}// 没找到return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);std::cout << std::endl;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}// 找到了要删除的节点else{// 左子树为空，托付右子树if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;return true;}// 右子树为空，托付左子树else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;return true;}// 都不为空使用替换删除法else{// 这里采用的是 找右子树的最小节点Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 赋值cur->_key = rightMin->_key;// 托付if (rightMin == rightMinParent->_left){rightMinParent->_left = rightMin->_right;}else{rightMinParent->_right = rightMin->_right;}delete rightMin;return true;}}}return false;}
private:Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);std::cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* _root = nullptr;
};

3. 二叉搜索树的应用

K搜索模型

K搜索模型主要运用于想要 快速找到某个值在不在 。比如说门禁系统。

KV搜索模型

KV搜索模型主要运用于想要 通过某个值（key）查找另一个值（value）在不在 。比如说商场车库，通过车牌号找到进车库的时间好用来计费。

上面实现的就是 K搜索模型 ，如何实现 KV搜索模型 呢？其实也不难，节点结构体内多存入一个 value 即可，然后输入 key 的时候也要输入 value。逻辑与 K搜索模型 大差不差。

未完待续

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