LeetCode 131题详解:高效分割回文串的递归与动态规划方法

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在本篇文章中,我们将详细解读力扣第 131 题“分割回文串”。该问题在字符串处理和动态规划中非常常见,通过学习本篇文章,读者将掌握高效解决此类问题的技巧。

问题描述

力扣第 131 题“分割回文串”描述如下:

给你一个字符串 s,请你将 s 分割成一些子串,使每个子串都是回文串。返回 s 所有可能的分割方案。

示例 1:

输入: "aab"
输出: [["a","a","b"],["aa","b"]]

示例 2:

输入: "a"
输出: [["a"]]

解题思路

  1. 初步分析

    • 我们需要将字符串 s 分割成一些子串,使每个子串都是回文串。
    • 回文串是指正读和反读都相同的字符串。
  2. 递归+回溯法

    • 我们可以用递归+回溯的方法来解决这个问题。
    • 从字符串的第一个字符开始,逐个尝试分割,如果前面的部分是回文,则继续分割剩下的部分。
    • 通过回溯来记录每次分割的结果。
  3. 动态规划法

    • 我们还可以用动态规划来优化判断回文的过程。
    • 预先计算并存储所有子串是否为回文串,避免重复判断。

解法一:递归+回溯法

  1. 步骤

    • 从字符串的第一个字符开始,逐个尝试分割。
    • 每次分割后,判断前面的部分是否为回文。
    • 如果是回文,则递归处理剩下的部分。
    • 通过回溯来记录每次分割的结果。
  2. 伪代码

    def backtrack(start, path):if start == len(s):result.append(path)returnfor end in range(start, len(s)):if is_palindrome(s, start, end):backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])
    

代码实现

解法一:递归+回溯法
def partition(s):def is_palindrome(sub_s):return sub_s == sub_s[::-1]def backtrack(start, path):if start == len(s):result.append(path[:])returnfor end in range(start, len(s)):if is_palindrome(s[start:end + 1]):backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])result = []backtrack(0, [])return result

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(N * 2^N),其中 N 是字符串的长度。每个字符都有分割和不分割两种选择。
  • 空间复杂度:O(N),用于递归调用的栈空间。

代码优化

解法二:动态规划法
  1. 步骤

    • 预先计算并存储所有子串是否为回文串。
    • 使用动态规划表 dp,其中 dp[i][j] 表示字符串 s 的子串 s[i:j+1] 是否为回文。
    • 使用回溯法来找到所有分割方案。
  2. 伪代码

    def partition(s):dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]for right in range(len(s)):for left in range(right + 1):if s[left] == s[right] and (right - left <= 2 or dp[left + 1][right - 1]):dp[left][right] = Truedef backtrack(start, path):if start == len(s):result.append(path[:])returnfor end in range(start, len(s)):if dp[start][end]:backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])
    

代码实现

解法二:动态规划法
def partition(s):n = len(s)dp = [[False] * n for _ in range(n)]# 填充动态规划表for right in range(n):for left in range(right + 1):if s[left] == s[right] and (right - left <= 2 or dp[left + 1][right - 1]):dp[left][right] = Truedef backtrack(start, path):if start == n:result.append(path[:])returnfor end in range(start, n):if dp[start][end]:backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])result = []backtrack(0, [])return result

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(N^2) 计算动态规划表需要 O(N^2) 的时间,回溯的时间复杂度在最坏情况下仍为 O(N * 2^N)。
  • 空间复杂度:O(N^2) 用于存储动态规划表。

测试案例

def test_partition():assert partition("aab") == [["a","a","b"], ["aa","b"]]assert partition("a") == [["a"]]assert partition("racecar") == [["r","a","c","e","c","a","r"], ["r","aceca","r"], ["racecar"]]assert partition("aaa") == [["a","a","a"], ["a","aa"], ["aa","a"], ["aaa"]]test_partition()

总结

本文详细解读了力扣第 131 题“分割回文串”,通过递归+回溯法和动态规划法两种不同的解法,帮助读者深入理解算法问题的解决思路。希望读者通过本文的学习,能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。

参考资料

  • 《算法导论》—— Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
  • 力扣官方题解

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