花神的数论题

题目背景

众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。

题目描述

话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。 花神的题目是这样的：设 $\text{sum}(i)$ 表示 $i$ 的二进制表示中 $1$ 的个数。给出一个正整数 $N$ ，花神要问你 ${\prod }_{i=1}^N\text{sum}(i)$ ，也就是 $\text{sum}(1)\sim \text{sum}(N)$ 的乘积。

输入格式

一个正整数 $N$。

输出格式

一个数，答案模 $10000007$ 的值。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

2

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^{15}$。

算法：数位dp

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int mod = 1e7 + 7;int dp[56][56];                                     // dp记录[pos][cnt1]状态下对答案的贡献
int a[56];                                          // a[]记录二进制串
int dfs(int pos, int cnt1, bool bound, bool lead_0) // pos为此时的位置，cnt1为前面1的数量，bound表示前面每一位是否都是上界，lead_0表示是否前面全是0
{if (pos == 0) // 枚举完每一位时返回{if (lead_0 == 1) // 如果此时lead_0为1，说明该数为0，则返回1（即返回无效贡献）return 1;elsereturn cnt1;}if (!bound && dp[pos][cnt1] != -1) // 读取记忆(dogereturn dp[pos][cnt1];int max_num; // 可枚举的该位的数的上界if (bound)max_num = a[pos];elsemax_num = 1;int res = 1;for (int i = 0; i <= max_num; i++){if (lead_0 && i == 0)res = (1LL * res * dfs(pos - 1, 0, bound && (i == a[pos]), 1)) % mod;elseres = (1LL * res * dfs(pos - 1, cnt1 + (i == 1), bound && (i == a[pos]), 0)) % mod;}if (!bound && !lead_0) // 没在边界时，记录下该状态对应的答案，记忆化dp[pos][cnt1] = res;return res;
}
int solve(ll x)
{memset(dp, -1, sizeof(dp)); // 将dp数组初始化为-1，表示对应状态的答案目前还未计算出int len = 0;while (x){a[++len] = x % 2;x /= 2;}return dfs(len, 0, 1, 1);
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);ll x;cin >> x;cout << solve(x);return 0;
}