leetcode746.使用最小花费爬楼梯(动态规划)

问题描述:

给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例一:
 

输入:cost = [10,15,20]
输出:15
解释:你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 15 

示例二:

输入:cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出:6
解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

问题解决:

方法一:

1.状态表示:

因为要使用动态规划来解决,所以必须要有dp数组来记录一个状态。

这道题中dp[i]表示到达i位置的最小花费,下面就要用前面的dp值以及cost值来表示dp[i]

2.状态转移方程

主要是通过之前的状态,来表示dp[i]的值。

因为题干中规定可以选择向上爬一个台阶或者两个台阶,对应dp[i]就要找出这两种情况下花费最小

的从而赋值给dp[i]。

dp[i]可以选择前一个台阶即[i - 1]的位置然后向上走一步,这时的花费为dp[i - 1] + cost[i - 1],对应的

为走一步的情况。

dp[i]可以选择前两个台阶即[i - 2]的位置然后向前走两步,这是的花费位dp[i - 2] + cost[i - 2],对应为

向前走两步的情况。

所以dp[i]的状态转移方程为:min(dp[i - 1] + cost[i - 1] , dp[i - 2] + cost[i - 2]).

3.初始化一些值

这一步主要是为了在填写dp表的时候不越界。

从状态转移方程中我们可以看到,使用了dp[i - 1]和dp[i - 2]这两个值,这也就意味着

我们需要初始化dp[0]和dp[1]这两个位置,那么应该初始化成什么呢?

因为题干中说可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯,所以这也就代表了前往第0个梯

子和第一个梯子不需要任何花费,所以初始化:

dp[0] = dp[i] = 0;

4.填表的顺序

应为dp[i]的实现依靠于dp[i - 1]和dp[i - 2]所以也就注定了顺序是从左向右的。

5.返回值

题干要求返回到达楼顶的最高位置,所以直接返回最高位置的dp数组的值就可以了。

细节:

到底哪里才算爬到楼顶,应该是将最后一个阶梯走完之后,才算爬到楼顶,所以也就注定了dp数组

的长度比cost数组的长度要多一位,用来记录最后到楼顶的花费。

对应的代码:

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
{// dp[i] 表示到达i位置的最小花费int n = cost.size();vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[n];
}

动态规划的代码的书写方式很固定,首先判断是否有特殊情况,有的话直接先进行判断,然后

1.创建dp表

2.初始化dp中的一些元素

3.顺序填表(状态转移方程)

4.返回 

方法二:

1.状态表示:

因为要使用动态规划来解决,所以必须要有dp数组来记录一个状态。

这道题中dp[i]表示从i位置出发,到达楼顶的最小花费

2.状态转移方程

主要是通过之后的状态,来表示dp[i]的值。

这里的dp[i]有了不同的含义,因为题干中规定可以向前走一步或者两步,所以可以选择后一个或者

后两个来取出最小的花费

dp[i]如果选择后一个台阶来进行跳跃,就需要从后一个位置出发,到达楼顶的最小花费来加上自己

位置本身的花费来表示dp[i]的值。

dp[i]如果选择后两个台阶来进行跳跃,就需要从后两个位置出发,到达楼顶的最小花费来加上自己

位置本身的画法来表示dp[i]的值。

所以dp[i]的状态转移方程是:dp[i] = min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i]).

3.初始化一些值

这一步主要是为了在填写dp表的时候不越界。

观察状态转移方程发现需要dp的后两个位置的值,这也就意味着我们要初始化

dp[n - 1]和dp[n - 2]这两个值,那么这两个值应该初始化成什么呢?

由题干可知:可选择向上爬一个或者两个台阶,所以只要这两个台阶的人支付自己所在的台阶的费

用,就可以实现到达顶端。

对dp[n - 1]和dp[n - 2]的初始化为:

dp[n - 1] = cost[n - 1],dp[n - 2] = cost[n - 2].

4.填表的顺序

可以从状态转移方程看出,填表顺序是从右到左的

5.返回值

应为题干规定可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯

所以dp[0]和dp[1]都有可能是最终的答案,谁小取谁

min(dp[0],dp[]1)

最终的代码如下:

class Solution 
{
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {// dp[i]表示从i位置出发,到达楼顶的最小花费//1.创建dp表int n = cost.size();vector<int> dp(n);//2.初始化dp中的一些元素dp[n - 1] = cost[n - 1];dp[n - 2] = cost[n - 2];//3.顺序填表(状态转移方程)for (int i = n - 3; i >= 0; i--) {dp[i] = min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i]);}//4.返回return min(dp[0], dp[1]);}
};

 这就是这道题的两种解法。

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