😀前言
本文探讨了一个有关青蛙跳台阶的变体问题，与传统的台阶跳跃不同，这只青蛙每次可以跳上任意多的台阶。我们需要解决的问题是：对于给定的台阶数，计算青蛙跳上该台阶的所有可能方法。本文将通过动态规划和数学推导两种方法来解决这个问题，并进一步优化算法以满足空间和时间复杂度的进阶要求。

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变态跳台阶

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描述

这个问题描述了一只青蛙跳上台阶的情景，不同之处在于这只青蛙每次可以跳上任意多的台阶。具体来说，它一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，或者跳上n级。我们需要计算出跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

数据范围：1≤𝑛≤201≤n≤20

进阶：空间复杂度 𝑂(1)O(1) ， 时间复杂度 𝑂(1)O(1)

示例1

输入：3

输出：4

示例2

输入：1

输出：1

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级… 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

动态规划

动态规划是一种常用的解题思路，适用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。对于这个问题，我们可以使用动态规划来求解。

我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示跳上第i级台阶的跳法总数。初始时，我们将dp数组全部初始化为1，因为青蛙跳上第0级台阶只有一种方式，即不跳。然后，我们从第1级台阶开始，依次计算跳上每级台阶的跳法总数。具体来说，对于第i级台阶，它可以从第0级、第1级、…、第i-1级台阶跳上来，所以跳上第i级台阶的跳法总数等于跳上第0级到第i-1级台阶的跳法总数之和。最后，返回dp[target - 1]即可。

public int jumpFloorII(int target) {int[] dp = new int[target];Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 1; i < target; i++)for (int j = 0; j < i; j++)dp[i] += dp[j];return dp[target - 1];
}

数学推导

除了动态规划外，我们还可以通过数学推导来解决这个问题。假设青蛙跳上第n级台阶的跳法总数为f(n)，我们可以观察到以下规律：

• 跳上n-1级台阶，可以从n-2级台阶跳1级上去，也可以从n-3级台阶跳2级上去，以此类推，直到从第0级台阶跳n-1级上去。
• 同样，跳上n级台阶，可以从n-1级台阶跳1级上去，也可以从n-2级台阶跳2级上去，以此类推，直到从第0级台阶跳n级上去。

基于上述观察，我们可以得到以下等式：

跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去…，那么

f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去… ，那么

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)

综上可得

f(n) - f(n-1) = f(n-1)

即

f(n) = 2*f(n-1)

所以 f(n) 是一个等比数列

public int JumpFloorII(int target) {return (int) Math.pow(2, target - 1);
}

进阶

本题还要求实现进阶要求，即空间复杂度为𝑂(1)，时间复杂度为𝑂(1)。对于这个要求，我们可以利用数学推导得到的结果，直接使用指数函数计算跳法总数，从而实现较低的空间复杂度和时间复杂度。

😄总结

在本文中，我们通过动态规划和数学推导两种方法解决了青蛙跳台阶的变体问题。首先，我们使用动态规划构建了一个数组来记录跳上每级台阶的跳法总数，然后通过迭代计算得到结果。接着，我们利用数学推导得到的等比数列关系，直接使用指数函数计算跳法总数，以实现更低的空间和时间复杂度。最终，我们成功实现了对于给定台阶数的青蛙跳跃方法的高效计算，满足了进阶要求。

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