蓝桥杯之差分题型

一维差分

问题描述

给定一个长度为 nn 的序列 aa。

再给定 mm 组操作，每次操作给定 33 个正整数 l,r,dl,r,d，表示对 al∼ral∼r 中的所有数增加 dd。

最终输出操作结束后的序列 aa。

Update：由于评测机过快，n,mn,m 于 2024-12-09 从 105105 加强至 2×1052×105，杜绝暴力通过本题。

输入格式

第一行输入两个正整数 n,mn,m。（1≤n,m≤2×1051≤n,m≤2×105）

第二行输入 nn 个正整数 aiai。（1≤i≤n,1≤ai≤1041≤i≤n,1≤ai≤104）。

接下来 mm 行，每行输入 33 个正整数 l,r,dl,r,d。（1≤l≤r≤n,−104≤d≤1041≤l≤r≤n,−104≤d≤104）。

输出格式

输出 nn 个整数，表示操作结束后的序列 aa。

样例输入

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

样例输出

3 4 5 3 4 2

思路解析

1. 输入数据

读取数组的长度 n 和操作的次数 m。
创建两个数组：
- a：存储原始数组的值。
- sum：差分数组，用于记录每个位置的变化。

2. 构建差分数组

遍历数组 a，计算差分数组 sum：
sum[i]=a[i]−a[i−1]
- 解释：
  - 差分数组 sum 的每个位置存储了当前元素与前一个元素的差值。
  - 通过差分数组，可以高效地对区间进行加法操作。

3. 处理区间加法操作

对于每次操作，指定区间 [l,r] 和值 tmp：
- 在差分数组 sum 中：
  - sum[l] += \text{tmp}：表示从位置 l 开始的区间增加 tmp。
  - sum[r+1] -= \text{tmp}：表示在位置 r+1 之后的区间减去 tmp，以抵消前面的增加操作。
- 注意：如果 r+1 超出数组范围，则不需要减去 tmp。

4. 恢复原始数组

遍历差分数组 sum，恢复更新后的数组 a：
a[i]=a[i−1]+sum[i]
- 解释：
  - 通过累加差分数组的值，可以恢复每个位置的最终值。

5. 输出结果

输出更新后的数组 a

代码实现

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);// 读取数组长度和操作次数int n = scan.nextInt();int m = scan.nextInt();// 创建数组存储原始数组和差分数组int[] a = new int[n + 1];int[] sum = new int[n + 1];// 输入数组并构建差分数组for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = scan.nextInt();sum[i] = a[i] - a[i - 1];}// 处理区间加法操作for (int i = 1; i <= m; i++) {int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();int tmp = scan.nextInt();// 对区间 [l, r] 进行更新sum[l] += tmp;if (r + 1 <= n) {sum[r + 1] -= tmp;}}// 恢复更新后的数组for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = a[i - 1] + sum[i];System.out.print(a[i] + " ");}scan.close();}
}

总结

核心思路：
- 利用差分数组高效地处理区间加法操作。
- 通过差分数组的累加恢复最终的数组。
关键步骤：
- 构建差分数组：
  sum[i]=a[i]−a[i−1]
- 处理区间加法：
  sum[l]+=tmpsum[r+1]−=tmp(如果 r+1≤n)
- 恢复数组：
  a[i]=a[i−1]+sum[i]
优点：
- 时间复杂度：每次区间加法操作的时间复杂度为 O(1)，恢复数组的时间复杂度为 O(n)。
- 空间复杂度：额外空间复杂度为 O(n)。

二维差分

问题描述

给定一个 n×mn×m 大小的矩阵 AA。

给定 qq 组操作，每次操作为给定 55 个正整数 x1,y1,x2,y2,dx1,y1,x2,y2,d，Ax1,y1Ax1,y1 是子矩阵左上角端点，Ax2,y2Ax2,y2 是子矩阵右下角端点，你需要给其中每个元素都增加 dd。

输出操作结束后的矩阵 AA。

输入格式

第一行输入 33 个正整数 n,m,qn,m,q。（1≤n,m≤103,1≤q≤1051≤n,m≤103,1≤q≤105）

接下来 nn 行每行输入 mm 个整数，表示 Ai,jAi,j。(−103≤Ai,j≤103,1≤i≤n,1≤j≤m)(−103≤Ai,j≤103,1≤i≤n,1≤j≤m)

接下来 qq 行，每行输入 55 个正整数 x1,y1,x2,y2,dx1,y1,x2,y2,d。(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−103≤d≤103)(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−103≤d≤103)

输出格式

输出 nn 行 mm 个整数，表示操作结束后的矩阵 AA。

样例输入

样例输出

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

思路解析

1. 输入数据

读取矩阵的行数 n 和列数 m，以及操作的次数 q。
创建两个二维数组：
- a：存储原始矩阵的值。
- sum：差分数组，用于记录每个位置的变化。

2. 构建差分数组

遍历矩阵 a，计算差分数组 sum：
sum[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]
- 解释：
  - 差分数组 sum 的每个位置存储了当前元素与相邻元素的差值。
  - 通过差分数组，可以高效地对区间进行加法操作。

3. 处理区间加法操作

对于每次操作，指定区间 [x1,y1] 到 [x2,y2] 和值 tmp：
- 在差分数组 sum 中：
  - sum[x1][y1] += \text{tmp}：表示从位置 [x1,y1] 开始的区间增加 tmp。
  - sum[x2+1][y1] -= \text{tmp}：表示在位置 [x2+1,y1] 之后的区间减去 tmp，以抵消前面的增加操作。
  - sum[x1][y2+1] -= \text{tmp}：表示在位置 [x1,y2+1] 之后的区间减去 tmp，以抵消前面的增加操作。
  - sum[x2+1][y2+1] += \text{tmp}：表示在位置 [x2+1,y2+1] 之后的区间加上 tmp，以抵消前面的减法操作。
- 注意：如果某个位置超出矩阵范围，则不需要进行操作。

4. 恢复原始矩阵

遍历差分数组 sum，恢复更新后的矩阵 a：
a[i][j]=a[i−1][j]+a[i][j−1]−a[i−1][j−1]+sum[i][j]
- 解释：
  - 通过累加差分数组的值，可以恢复每个位置的最终值。

5. 输出结果

输出更新后的矩阵 a。

代码实现

import java.util.*;public class Main {static final int N = 1000 + 10;static int[][] a = new int[N][N];static int[][] sum = new int[N][N];// 差分操作函数public static void f(int x1, int y1, int x2, int y2, int tmp) {sum[x1][y1] += tmp;sum[x2 + 1][y1] -= tmp;sum[x1][y2 + 1] -= tmp;sum[x2 + 1][y2 + 1] += tmp;}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);// 读取矩阵的行数、列数和操作次数int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();int q = sc.nextInt();// 输入矩阵并构建差分数组for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {a[i][j] = sc.nextInt();sum[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];}}// 处理区间加法操作while (q-- > 0) {int x1 = sc.nextInt();int y1 = sc.nextInt();int x2 = sc.nextInt();int y2 = sc.nextInt();int tmp = sc.nextInt();f(x1, y1, x2, y2, tmp);}// 恢复矩阵并输出结果for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + sum[i][j];System.out.print(a[i][j] + " ");}System.out.println();}sc.close();}
}

总结

核心思路：
- 利用二维差分数组高效地处理区间加法操作。
- 通过差分数组的累加恢复最终的矩阵。
关键步骤：
- 构建差分数组：
  sum[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]
- 处理区间加法：
  sum[x1][y1]+=tmpsum[x2+1][y1]−=tmpsum[x1][y2+1]−=tmpsum[x2+1][y2+1]+=tmp
- 恢复矩阵：
  a[i][j]=a[i−1][j]+a[i][j−1]−a[i−1][j−1]+sum[i][j]
优点：
- 时间复杂度：每次区间加法操作的时间复杂度为 O(1)，恢复矩阵的时间复杂度为 O(n×m)。
- 空间复杂度：额外空间复杂度为 O(n×m)。

思路解析

1. 输入数据

读取棋盘的大小 n 和操作的次数 m。
创建两个二维数组：
- b：二维差分数组，用于记录每次翻转操作的影响。
- s：二维前缀和数组，用于计算每个位置的翻转次数。

2. 处理翻转操作

对于每次操作，指定矩形区域 [x1,y1] 到 [x2,y2]：
- 在差分数组 b 中：
  - b[x1][y1] += 1：表示从位置 [x1,y1] 开始的区域增加一次翻转。
  - b[x2 + 1][y1] -= 1：表示在位置 [x2+1,y1] 之后的区域减去一次翻转，以抵消前面的增加操作。
  - b[x1][y2 + 1] -= 1：表示在位置 [x1,y2+1] 之后的区域减去一次翻转，以抵消前面的增加操作。
  - b[x2 + 1][y2 + 1] += 1：表示在位置 [x2+1,y2+1] 之后的区域加上一次翻转，以抵消前面的减法操作。
- 注意：如果某个位置超出棋盘范围，则不需要进行操作。

3. 计算二维前缀和

遍历差分数组 b，计算每个位置的翻转次数：
s[i][j]=b[i][j]+s[i−1][j]+s[i][j−1]−s[i−1][j−1]
- 解释：
  - 通过累加差分数组的值，可以计算每个位置的翻转次数。

4. 确定最终状态

遍历二维前缀和数组 s，判断每个位置的翻转次数的奇偶性：
- 如果翻转次数为奇数，表示该位置的颜色被翻转了奇数次，最终状态为白色（假设初始状态为黑色）。
- 如果翻转次数为偶数，表示该位置的颜色被翻转了偶数次，最终状态为黑色。
- 输出每个位置的最终状态。

代码实现

import java.util.Scanner;public class Main {static final int N = 2000 + 10; // 假设最大值为2000，加上一些缓冲static int[][] b = new int[N][N]; // 二维差分数组，用于记录翻转操作的影响static int[][] s = new int[N][N]; // 二维前缀和数组，用于计算每个位置的翻转次数static int n, m;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);// 读取输入n = sc.nextInt(); // 棋盘大小m = sc.nextInt(); // 操作次数// 处理每个翻转操作while (m-- > 0) {int x1 = sc.nextInt();int y1 = sc.nextInt();int x2 = sc.nextInt();int y2 = sc.nextInt();// 更新二维差分数组 bb[x1][y1] += 1;if (x2 + 1 < N) b[x2 + 1][y1] -= 1;if (y2 + 1 < N) b[x1][y2 + 1] -= 1;if (x2 + 1 < N && y2 + 1 < N) b[x2 + 1][y2 + 1] += 1;}// 计算二维前缀和并确定最终状态for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 计算二维前缀和s[i][j] = b[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];// 判断翻转次数的奇偶性，确定最终颜色System.out.print(s[i][j] % 2);}System.out.println(); // 换行}sc.close(); // 关闭输入流}
}

总结

核心思路：
- 利用二维差分数组高效地处理区间翻转操作。
- 通过二维前缀和数组计算每个位置的翻转次数，判断奇偶性确定最终状态。
关键步骤：
- 处理翻转操作：
  b[x1][y1]+=1b[x2+1][y1]−=1b[x1][y2+1]−=1b[x2+1][y2+1]+=1
- 计算二维前缀和：
  s[i][j]=b[i][j]+s[i−1][j]+s[i][j−1]−s[i−1][j−1]
- 确定最终状态：
  最终状态=s[i][j]%2
优点：
- 时间复杂度：每次翻转操作的时间复杂度为 O(1)，计算前缀和的时间复杂度为 O(n2)。
- 空间复杂度：额外空间复杂度为 O(n2)。