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若被积函数在积分区间上是可积的，那么变限积分函数在这个区间上是连续的，变限积分在积分区间上是可导的，并且导数等于被积函数。

不定积分：被积函数在某区间上连续，原函数存在。被积函数在区间上处处有定义，且存在第一类间断点或无穷间断点，在这个区间上原函数不存在。被积函数在某区间上存在振荡间断点，原函数可能存在。

定积分：被积函数连续，定积分存在。被积函数连续，变限积分可导，并且变限积分的导数就是被积函数。被积函数在区间上有界（没有无穷间断点），且只有有限个间断点（第一类间断点或振荡间断点），定积分也存在。

可以发现，被积函数在某区间上连续，不定积分存在，定积分也存在，变限积分可导，连续，变限积分的导数等于被积函数。定积分的限制条件没有不定积分那么严格，可能本质上就是因为单个点不影响面积的计算。

变限积分的求导的公式，
$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt,F^{\prime }(x)=f[\beta (x)]{\beta }^{\prime }(x)-f[\alpha (x)]{\alpha }^{\prime }(x)$$

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$${\int }_0^{0}f(t)dt=0$$

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$$F(x)={\int }_{tanx}^{x^2}xf(t)dt=x{\int }_{tanx}^{x^2}f(t)dt$$

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形如
$${\int }_0^{x}f(x-t)dt$$
令 $x-t=u$, 换元处理。

26

$$[{\int }_0^x\frac{sint}{\sqrt{t+c}}dt{]}^{\prime }=\frac{sinx}{\sqrt{x+c}}$$

27

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{x-u}du=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{-u}du$$
变限积分可能在洛必达背景下考察。

28

无穷积分就是积分上下限里面至少有一个为无穷的变限积分，也有可能积分上下限都是无穷。

$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,a>0$$
$$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C,a>0$$
下面的 a>0 就省略不写了。
$$\begin{gathered} \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{gathered}$$

正无穷的时候是 0 ，负无穷的时候是 $\pi$ ，等于零的时候是 $\frac{\pi }{2}$

29

计算反常积分时，我们首先考察瑕点，假设存在瑕点，以瑕点为分界点，将定积分分开，否则直接计算定积分。此题存在瑕点，但是瑕点是积分上限，故对定积分的值没有影响。

30

$$\int \frac{-1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C$$

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$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x(1+x)}={\int }_1^{+\infty }(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x(1+x)}\sim \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2},2>1\text{ 所以收敛}$$
$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx,p>1\text{ 收敛}$$

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$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x+x^2}\sim \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\text{ 和取低阶,1=1 ，所以发散}$$
$${\int }_0^a\frac{1}{x^p}dx,p<1\text{ 收敛}$$
$${\int }_0^1\frac{1}{x(x+1)dx}={\int }_0^1(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx$$

33

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx,p>1\text{ 收敛}$$

34

$x=0$ 不是 $f(x)=\frac{x^3}{1+x^4}$ 的瑕点，所以 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 具有相同的敛散性。

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