一、深度Q网络（Deep Q-Network，DQN）介绍

1、背景与动机

深度Q网络（DQN）是深度强化学习领域的里程碑算法，由DeepMind于2013年提出。它首次在 Atari 2600 游戏上实现了超越人类的表现，解决了传统Q学习在高维状态空间中的应用难题。DQN在机器人路径规划领域展现出巨大潜力，能够帮助机器人在复杂环境中找到最优路径。

传统Q学习在状态空间维度较高时面临以下挑战：

1. Q表无法存储高维状态的所有可能情况
2. 特征提取需要手动设计，泛化能力差
3. 更新过程容易导致Q值估计不稳定

DQN通过引入深度神经网络作为Q函数的近似器，并采用经验回放和目标网络等技术，有效解决了上述问题。

2、核心思想

DQN的核心思想是使用深度神经网络来近似Q函数，即：
$$Q^{\ast }(s,a)\approx Q(s,a;\theta )$$
其中，$s$ 表示状态，$a$ 表示动作，$\theta$ 表示神经网络的参数。

目标是找到一组参数 ${\theta }^{\ast }$，使得网络输出的Q值与实际的Q值尽可能接近。通过不断与环境交互收集数据，使用梯度下降法优化网络参数。

3、算法流程

DQN的算法流程可以概括为以下步骤：

1. 初始化：

   • 初始化Q网络参数 $\theta$
   • 初始化目标网络参数 ${\theta }^{-}$ 并与Q网络参数同步
   • 初始化经验回放缓冲区 $D$

2. 与环境交互：

   • 在当前状态 $s$ 下，根据 $ϵ$-贪婪策略选择动作 $a$
   • 执行动作 $a$，观察奖励 $r$ 和下一个状态 $s^{\prime }$
   • 将经验 $(s,a,r,s^{\prime })$ 存入经验回放缓冲区 $D$

3. 采样与更新：

   • 从经验回放中随机采样一批数据 $\{(s_i,a_i,r_i,s_i^{\prime })\}$
   • 计算目标Q值：
     $$y_i=\{\begin{array}{ll}{r}_i& \text{if }{s}_i^{\prime }\text{ is terminal}\\ r_i+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s_i^{\prime },a^{\prime };{\theta }^{-})& \text{otherwise}\end{array}$$
     其中，$\gamma$ 是折扣因子（$0\le \gamma \le 1$）
   • 计算当前Q值：$Q(s_i,a_i;\theta )$
   • 计算损失函数：
     $$L(\theta )=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-Q(s_i,a_i;\theta ){)}^2$$
   • 使用梯度下降法更新Q网络参数 $\theta$

4. 同步目标网络：

   • 每隔一定步数（如C步），将Q网络参数 $\theta$ 同步到目标网络 ${\theta }^{-}$

5. 重复：

   • 重复上述过程直到收敛

4、关键技术

1. 经验回放（Experience Replay）

经验回放通过存储代理与环境交互的经验，并随机采样小批量数据进行更新，解决了以下问题：

• 数据相关性：传统Q学习使用相关数据更新，容易导致估计偏差
• 数据利用效率：每个经验只使用一次，数据利用率低

经验回放的数学表达为：
D = { e 1 , e 2 , … , e N } , e i = ( s i , a i , r i , s i ′ ) D = \{e_1, e_2, \dots, e_N\}, \quad e_i = (s_i, a_i, r_i, s_i') D={e1​,e2​,…,eN​},ei​=(si​,ai​,ri​,si′​)
每次更新时，从 $D$ 中随机采样小批量数据 $B\subseteq D$。

2. 目标网络（Target Network）

目标网络通过维持一个固定的网络来计算目标Q值，避免了Q值估计的不稳定。目标网络的参数 ${\theta }^{-}$ 每隔一定步数与Q网络参数 $\theta$ 同步：
$${\theta }^{-}\leftarrow \theta \text{every C steps}$$

3. $ϵ$-贪婪策略

$ϵ$-贪婪策略在探索与利用之间取得平衡：
$$a=\{\begin{array}{ll}\text{random action}& \text{with probability }ϵ\\ \arg {\max }_{a}Q(s,a;\theta )& \text{with probability }1-ϵ\end{array}$$
其中，$ϵ$ 随时间逐渐衰减，从初始值（如1.0）逐渐降低到较小值（如0.1）。

5、数学推导

1. Q学习更新公式

Q学习的目标是找到最优策略下的Q值：
$$Q^{\ast }(s,a)={\mathbb{E}}_r[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }{Q}^{\ast }(s^{\prime },a^{\prime })]$$
其中，${\mathbb{E}}_r$ 表示对奖励分布的期望。

2. 损失函数

DQN使用均方误差（MSE）作为损失函数：
$$L(\theta )={\mathbb{E}}_{s,a,r,s^{\prime }}\left[(y-Q(s,a;\theta ){)}^2\right]$$
其中，$y=r+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s^{\prime },a^{\prime };{\theta }^{-})$ 是目标Q值。

3. 梯度更新

使用梯度下降法更新参数 $\theta$：
$$\theta \leftarrow \theta +\alpha {\nabla }_{\theta }L(\theta )$$
其中，$\alpha$ 是学习率，${\nabla }_{\theta }L(\theta )$ 是损失函数对参数的梯度。

6、与传统Q学习的对比

特性	传统Q学习	DQN
状态表示	离散状态或手工特征	深度神经网络自动提取特征
数据利用	每个数据只使用一次	经验回放多次利用数据
稳定性	Q值估计容易发散	目标网络提高稳定性
适用场景	低维状态空间	高维状态空间（如图像）

7、局限性

1. 样本效率低：需要大量交互数据
2. 超参数敏感：对 $ϵ$、学习率、折扣因子等敏感
3. 奖励稀疏问题：在奖励稀疏环境中表现不佳
4. 计算资源需求高：需要强大的计算设备支持

二、构建CNN-LSTM深度神经网络作为Q函数的近似器

输入是10*10大小含有障碍物的地图，输出是机器人8个方向的动作Q值，用于指导机器人选择最优动作。

所搭建的深度神经网络包含卷积层、激活层、全连接层、扁平化层和LSTM层。以下是每一层的详细说明：

1. 输入层 (input)

• 输入尺寸: (10 \times 10 \times 1)
• 归一化: 使用 “zero-centered” 归一化方法
• 描述: 接收 (10 \times 10) 的单通道图像作为输入。

2. 卷积层 (con1)

• 卷积核尺寸: (3 \times 3)
• 卷积核数量: 16
• 步幅: ([1, 1])
• 填充: ([0, 0, 0, 0])
• 输出尺寸: (8 \times 8 \times 16)
• 描述: 使用 16 个 (3 \times 3) 的卷积核对输入图像进行卷积操作，提取特征。

3. ReLU 激活层 (relu1)

• 输入/输出尺寸: (8 \times 8 \times 16)
• 描述: 对卷积层的输出应用 ReLU 激活函数，引入非线性。

4. 全连接层 (fc1)

• 输入尺寸: (8 \times 8 \times 16 = 1024)
• 输出尺寸: (64)
• 权重矩阵: (64 \times 1024)
• 偏置向量: (64 \times 1)
• 描述: 将卷积层的输出展平后，通过全连接层映射到 64 维特征空间。

5. ReLU 激活层 (relu3)

• 输入/输出尺寸: (64)
• 描述: 对全连接层的输出应用 ReLU 激活函数。

6. 扁平化层 (flatten)

• 输入尺寸: (1 \times 1 \times 64)
• 输出尺寸: (64 \times 1)
• 描述: 将三维张量展平为一维向量。

7. LSTM层 (Lstm)

• 隐藏单元数量: 20
• 输入尺寸: (64 \times 1)
• 输出尺寸: (20 \times 1)
• 权重矩阵:
  • 输入权重: (80 \times \dots)
  • 循环权重: (80 \times \dots)
  • 偏置向量: (80 \times \dots)
• 描述: 使用 LSTM处理序列数据，捕捉时间序列中的依赖关系。

8. ReLU 激活层 (relu)

• 输入/输出尺寸: (20 \times 1)
• 描述: 对 LSTM层的输出应用 ReLU 激活函数。

9. 全连接层 (fc2)

• 输入尺寸: (20)
• 输出尺寸: (8)
• 权重矩阵: (8 \times 20)
• 偏置向量: (8 \times 1)
• 描述: 将 LSTM层的输出映射到 8 维输出空间。

10. 输出层 (output)

• 输出尺寸: (8 \times 1)
• 损失函数: 均方误差（mean-squared-error）
• 响应: “Response”
• 描述: 输出层用于回归任务，预测 8 维的连续值。

三、DQN求解机器人路径规划

3.1 环境设置

• 状态空间：机器人当前的位置或状态，以及与目标位置的关系。
• 动作空间：机器人可以采取的所有可能动作，如移动到相邻位置。
• 奖励函数：定义机器人在执行动作后获得的即时奖励。例如，到达目标点给予高奖励，碰撞给予负奖励，距离目标点越近奖励越高。

3.2 网络设计

DQN网络输入是10×10大小的地图状态，输出是机器人8个方向的动作Q值。网络结构如下：

• 输入层：接收10×10的地图作为输入。
• 隐藏层：可以包含卷积层、LSTM等，用于提取地图特征。
• 输出层：输出8个方向动作的Q值。

3.3 训练过程

1. 初始化：初始化经验池，随机初始化Q网络的参数，并初始化目标网络，其参数与Q网络相同。
2. 获取初始状态：机器人从环境中获取初始状态。
3. 选择动作：根据当前状态和ε-贪心策略选择动作。
4. 执行动作并观察：机器人执行动作并观察新的状态和获得的奖励。
5. 存储经验：将经验（状态、动作、奖励、新状态）存储在经验池中。
6. 样本抽取与学习：从经验池中随机抽取样本，并使用这些样本来更新Q网络。
7. 目标网络更新：定期将Q网络的参数复制到目标网络。

3.4 路径规划

在训练完成后，使用训练好的DQN网络来规划路径。机器人根据当前状态和Q值函数选择最优动作，逐步接近目标位置。

四、部分MATLAB代码及结果

%% 画图
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title('基于DQN的机器人路径规划')
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五、完整MATLAB代码见下方名片