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一, 机器学习

机器学习定义: 计算机能够在没有明确的编程情况下学习

特征: 特征是描述样本的属性或变量，是模型用来学习和预测的基础。如: 房屋面积, 地理位置

标签: 监督学习中需要预测的目标变量，是模型的输出目标。如: 房屋价格

样本: 如: {面积=100㎡, 卧室=3, 位置=市中心, 价格=500万}, 数据集中的一个独立实例, 包含一组特征及对应的标签。

样本向量形式:

独热编码举例:

1.1 机器学习的分类

1) 监督学习: 根据带标签的数据训练模型，预测新样本的标签。如回归, 分类。

回归应用: 房价预测

分类算法: 根据年龄和肿瘤大小判断肿瘤良/恶性

2) 无监督学习: 从未标注数据中发现潜在结构或模式。如聚类, 异常检测, 降维(大数据集压缩成更小的数据集, 并可能少地丢失信息)

聚类: 谷歌新闻示例

3) 半监督学习: 结合少量标注数据和大量未标注数据进行训练。如医学图像分析

4) 强化学习: 通过与环境交互学习策略，最大化累积奖励。如游戏AI, 自动驾驶

1.2 监督学习算法

1.2.1 线性回归

第i个数据特征:

损失函数（Loss Function）：衡量单个样本的预测值与真实值的差异。

成本函数（Cost Function）：衡量整个训练集的平均损失。

平方误差损失:

平方误差成本函数: 一定是凸函数，确保只有一个全局最小值

模型(y=wx)与成本函数示例 (左图w=-0.5、0、0.5、1时的情况):

模型(y=wx+b)下的成本函数:

模型与J(w,b)的平面等高线:

学习率（α）：控制模型参数更新步长的超参数。

学习率的取值的两种情况:

1) 学习率过大：参数更新步长过大，可能导致损失值震荡甚至发散。

2) 学习率过小：收敛速度极慢，可能陷入局部极小值。

示例:

梯度下降公式:

推导过程:

梯度算法演示:

两个特征的多元线性回归举例:

特征缩放: 加速模型收敛。有如下方法:

标准化（Z-Score标准化）:

标准差:

归一化（Min-Max缩放）:

标准化与归一化的区别:

举例 (标准化前后的数据集) :

1.2.2 逻辑回归

通过线性组合特征与参数，结合Sigmoid函数将输出映射到概率区间（0-1），用于解决分类问题（尤其是二分类）。

Sigmoid函数模型:

图形:

对数损失函数（交叉熵损失）:

对应图形:

为什么不使用均方误差(MSE)作为损失函数: 当预测值接近 0 或 1 时, 梯度接近于0, 权重几乎无法更新。

对应成本函数:

为什么选择对数损失函数:

1) 概率视角：最大似然估计（MLE）

2) 优化视角：凸性

梯度下降算法:

与线性回归梯度算法的区别: 模型定义不同:

线性回归与逻辑回归区别:

1.2.3 正则化

解决过拟合情况:

1) 收集更多数据

2) 仅用特征的一个子集

3) 正则化

欠拟合(高偏差), 适中, 过拟合(高方差)

正则化项:

添加正则化项后的梯度算法:

原理: 通过在损失函数中添加与模型参数相关的惩罚项，限制参数的复杂度，从而提升模型的泛化能力。 (使得W尽可能小以此使得函数趋于平滑)

λ过大: 参数被过度压缩，模型过于简单，无法捕捉数据中的有效规律。

λ过小: 正则化作用微弱，模型过度依赖训练数据中的噪声或局部特征。

备注: 只要正则化得当, 更大的神经网络总是更好的。

例图:

根据交叉验证误差找到适合的λ:

λ取值与交叉验证误差及训练集误差的关系:

1.2.4 决策树

一种树形结构的监督学习模型，通过递归划分特征空间，对样本进行分类或回归。

递归分裂过程:

从根节点开始，计算所有特征的分裂指标（如信息增益）。
选择最优特征作为当前节点的分裂特征。
根据特征的取值将数据集划分为子集，生成子节点。
对每个子节点递归执行步骤1-3，直到满足停止条件。

停止条件:

节点样本数小于预设阈值。
所有样本属于同一类别。
特征已用完或分裂后纯度提升不显著。

预剪枝: 在树生长过程中提前终止分裂。如设置最大深度

信息熵：度量数据集的混乱程度。值越小分类越明确。图为二分类情况

示例图:

推广多分类:

信息增益：特征分裂后熵的减少量。值越大特征越重要。图为二分类举例:

多分类推广:

符号含义:

二分类分裂决策举例:

决策树处理处理连续值特征:

1) 特征排序: 从小到大排序

2) 候选分割点生成：相邻值的中间点作为候选分割点。

3) 计算分裂指标: 计算分裂后的信息增益（分类）或均方误差（回归）。

4) 选择最优分割点

5) 递归分裂

示例图: 选择分裂点(分类)

示例图: 选择分类点(回归, 预测值为叶子结点的平均值)

随机森林

通过构建多棵决策树，结合投票（分类）或平均（回归）实现预测。

训练步骤：

1) Bootstrap抽样：从D中有放回地抽取N个样本，形成子集 $D_{t}$ 。

2) 构建决策树：在 $D_{t}$ 上训练一棵CART（分类与回归树）树，每次分裂时仅考虑m个随机选择的特征。m=math.sqrt(总特征数)

3) 保存模型：将训练好的树ht加入森林。

4) 预测:

· 多数投票法(分类)：每棵树对样本预测一个类别，最终选择得票最多的类别。

· 平均值(回归)：所有树的预测结果取平均。

放回抽样: 每次从总体中随机抽取一个样本后，将该样本放回总体，确保它在后续抽取中仍有可能被再次选中。

基尼系数公式:

符号含义:

作用：衡量数据集的不纯度。基尼系数越小，数据越“纯净”（同一类样本占比越高）。

基尼指数公式:

符号含义:

作用：衡量按特征 A 分裂后的整体不纯度。决策树选择基尼指数最小的特征进行分裂。

XGBoost思想: 在每一轮迭代中，通过拟合前序模型的预测残差（负梯度方向），并自动调整对预测不准样本的关注度，同时结合正则化防止过拟合。

1.3 非监督学习算法

1.3.1 聚类算法

将未标记的数据划分为若干组（簇）, 组内相似性高, 组间差异性大。

K-means算法: 随机初始化K个中心点 → 分配数据点到最近中心 → 更新中心点 → 迭代至收敛。

K-means算法流程:

k-means工作示例:

质心:

符号含义:

不同初始化时的可能情况:

肘部算法: 选取合适的K值

1.3.2 异常检测

密度评估: 当P(x)小于某个值时, 为可疑异常, 相比较监督算法, 更容易发现从未出现过的异常

正态分布（高斯分布）的概率密度函数

推广(向量):

非高斯特征转化 :

协调过滤:

回归成本函数:

梯度算法:

均值归一化作用: 若无评分数据，使用全局均值 μglobal 作为初始预测值。

预测值:

基于内容的过滤算法:

PCA算法: 无监督的线性降维方法，通过正交变换将高维数据投影到低维空间，保留数据中的最大方差。以期用更少的特征（主成分）解释原始数据中的大部分变异性。

与线性回归的区别:

1.3.3 强化学习

贝尔曼方程:

Agent（智能体）：决策主体，执行动作（Action）。
State（状态 s）：环境在某一时刻的描述。
Action（动作 a）：Agent的行为选择。
Reward（奖励 R(s)）：环境对Agent动作的即时反馈。
Value Function（价值函数）：衡量状态或动作的长期价值（Q(s,a)）。
其中γ∈[0,1]为折扣因子

小批量处理实现流程:

数据分块：将训练集随机划分为多个小批量。
前向传播：对当前小批量计算模型输出。
损失计算：根据预测值和真实标签计算损失（如交叉熵、均方误差）。
反向传播：计算损失对参数的梯度。
参数更新：使用优化算法（如SGD、Adam）更新模型参数。
重复：遍历所有小批量完成一个训练周期（Epoch）。

优势: 避免一次性加载全部数据, 更新更频繁，加快收敛。

软更新

二、深度学习

2.1 基本概念

输入层: x向量表示原始数据

隐藏层: 如下图 layer1 到 layer3输出激活值(向量)。通过权重和激活函数提取抽象特征。

输出层: layer4, 生成最终预测结果（如分类概率）。

神经元（节点）：每层的圆圈代表一个神经元，负责接收输入信号并计算输出。

激活函数: 引入非线性，使网络能够拟合复杂函数。

前向传播示例图:

三种激活函数:

备注: 梯度下降时sigmoid两端导函数为0, 二ReLu只有一端。

为什么模型需要激活函数: 使得模型非线性。神经都是线性回归则神经网络只是一个线性回归。

反向传播: 通过链式法则，依次计算每一层的梯度

举例:

梯度下降: 利用反向传播计算的梯度，梯度下降通过以下公式更新参数

2.3 多分类与多标签分类

多分类: 将样本分配到唯一一个类别中, 如数字识别

多标签分类: 为样本分配多个相关标签, 如图像标注（包含“山”“湖”“树”）

多分类举例: 输出每个类别的概率，选择最大概率对应的类别。

损失函数:

网络层

密集层

卷积层

2.4 模型评估

数据集划分：

1) 训练集（Training Set）：用于模型训练（通常占60-80%）。

2) 验证集: 用于调参, 学习数据中的潜在规律。

3) 测试集（Test Set）：模拟“未知数据”，用于最终评估。

意义: 若模型仅在训练集上表现好，但在测试集上差，说明模型过拟合（过度记忆训练数据细节），泛化能力弱。

备注: 避免测试集调参, 若根据测试集结果反复调整模型，导致模型间接拟合测试集。

2.4.1 偏差与方差

偏差（Bias）：指模型预测值的期望与真实值之间的差距，反映了模型对数据的拟合能力。高偏差意味着模型过于简单，无法捕捉数据中的潜在关系，导致欠拟合（Underfitting）。

方差（Variance）：指模型对训练数据中微小变化的敏感程度，反映了模型的稳定性。高方差意味着模型过于复杂，过度拟合训练数据中的噪声，导致过拟合（Overfitting）。

高偏差(左), 高方差(右)

2.4.2 诊断偏差与方差

高偏差（欠拟合）：训练集和验证集误差均高。

解决方案:

1) 可增加模型复杂度（如使用更高阶多项式、深层神经网络）

2) 添加更多特征或改进特征工程

3) 减少正则化强度（如降低λ值）

高方差（过拟合）：训练误差低，验证误差高且差距大。表现: J(验证集)>>J(训练集)

解决方案:

1) 可降低模型复杂度（如减少神经网络层数、剪枝决策树）。

2) 增加训练数据量或使用数据增强。

3) 增强正则化

多项式阶数(x轴) 与交叉验证误差及训练集误差的关系:

学习曲线:

高偏差学习曲线情况(红线, 较人类水平相比):

高方差学习曲线情况(前半段):

训练神经网络的一般步骤:

数据增强: 在现有的训练样本上修改生成另一个训练样本

迁移学习: 预训练

两者区别:

维度	数据增强	迁移学习
核心目标	增加数据多样性，提升模型泛化能力	复用已有知识，降低目标领域训练成本
依赖条件	需要少量原始数据	需要源领域模型或相关数据
适用阶段	数据准备阶段	模型训练阶段
技术范畴	数据预处理/正则化	模型优化/跨任务学习
典型应用领域	图像、文本、语音等所有数据驱动的任务	深度学习、跨领域任务（如医疗、金融）