【C语言标准库函数】双曲函数：sinh(), cosh(), tanh()

一、头文件

二、函数简介

2.1. 双曲正弦函数 sinh(double x)

2.2. 双曲余弦函数 cosh(double x)

2.3. 双曲正切函数 tanh(double x)

三、函数实现（概念性）

四、注意事项

4.1. 参数类型

4.2. 计算精度

4.3. 函数返回值

4.4. 环境差异

4.5. 物理与几何应用

4.6. 编程实践

五、示例代码

在 C 语言标准库中，<math.h> 头文件提供了用于计算双曲函数的相关函数，常见的有 sinh()、cosh() 和 tanh()，本文将详细介绍这几个函数。

一、头文件

这些双曲函数都定义在<math.h>头文件中。要使用它们，需要在C程序中包含这个头文件。

二、函数简介

2.1. 双曲正弦函数 sinh(double x)

双曲正弦函数是数学中的一种重要函数，通常记作 sinh(x)，其定义式为：

其中，e 是自然对数的底数，约等于 2.71828。该函数属于双曲函数的一种，与三角函数相似，但具有不同的性质和用途。双曲正弦函数在数学、物理和工程计算中都有广泛的应用。

主要特点：

定义域：双曲正弦函数的定义域为全体实数集，即 x∈R。
值域：其值域也为全体实数集，即 sinh(x)∈R。
奇偶性：双曲正弦函数是奇函数，即满足 sinh(−x)=−sinh(x)。
单调性：在区间 (−∞,+∞) 上，双曲正弦函数是单调增加的。
凹凸性：双曲正弦函数在 x>0 时是凸函数，在 x<0 时是凹函数。
导数：双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数，即 dxdsinh(x)=cosh(x)。

2.2. 双曲余弦函数 cosh(double x)

双曲余弦函数是另一种重要的双曲函数，记作 cosh(x)，其定义式为：

主要特点：

定义域：与双曲正弦函数相同，双曲余弦函数的定义域也是全体实数集。
值域：其值域为 [1,+∞)，因为对于任何实数 x，ex 和 e−x 都是正的，所以它们的和除以 2 总是大于或等于 1。
奇偶性：双曲余弦函数是偶函数，即满足 cosh(−x)=cosh(x)。
单调性：在区间 [0,+∞) 上，双曲余弦函数是单调增加的（尽管在 (−∞,0) 上也是单调的，但由于偶函数性质，其增减性与 [0,+∞) 上相同）。
凹凸性：双曲余弦函数在其整个定义域上都是凸函数。
导数：双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数，即 dxdcosh(x)=sinh(x)。

2.3. 双曲正切函数 tanh(double x)

双曲正切函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数的商，记作 tanh(x)，其定义式为：

主要特点：

定义域：与双曲正弦和余弦函数相同，双曲正切函数的定义域也是全体实数集。
值域：其值域为 (−1,1)，因为分子是两个指数函数的差，分母是两个指数函数的和，且分母总是大于分子（绝对值上），所以比值永远在 -1 和 1 之间。
奇偶性：双曲正切函数是奇函数，即满足 tanh(−x)=−tanh(x)。
单调性：在区间 (−∞,+∞) 上，双曲正切函数是单调增加的。
凹凸性：双曲正切函数在其整个定义域上都是凹函数。
导数：双曲正切函数的导数是 1−tanh2(x)，这可以通过求导法则和链式法则得出。

三、函数实现（概念性）

在C语言中，虽然我们不能直接访问sinh(), cosh(), 和 tanh()这些函数的源代码（因为它们是标准库的一部分，且实现依赖于具体的编译器和库），但我们可以基于它们的数学定义来实现概念性的、简单的近似版本。这里，我们将使用exp()函数来计算e的指数，然后根据双曲函数的定义来实现它们。

注意：这里的实现主要是为了教学目的，并不是最优或最精确的。在实际应用中，应该直接使用标准库中的函数，因为它们经过了优化以提供高精度和好的性能。

#include <stdio.h>  
#include <math.h>  // 概念性的sinh实现  
double my_sinh(double x) {  return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;  
}  // 概念性的cosh实现  
double my_cosh(double x) {  return (exp(x) + exp(-x)) / 2.0;  
}  // 概念性的tanh实现，依赖于sinh和cosh  
double my_tanh(double x) {  return my_sinh(x) / my_cosh(x);  
}  int main() {  double x = 1.0;  printf("sinh(%f) = %f\n", x, my_sinh(x));  printf("cosh(%f) = %f\n", x, my_cosh(x));  printf("tanh(%f) = %f\n", x, my_tanh(x));  return 0;  
}

展示了如何基于exp()函数（在<math.h>中定义）来实现sinh(), cosh(), 和 tanh()函数的概念性版本。在实际中，由于exp()函数已经足够精确，这种实现方式对于大多数应用场景来说已经足够好了。

然而，值得注意的是，当x的值非常大时，exp(x)和exp(-x)的计算可能会导致数值溢出或下溢。为了避免这种问题，库的实现可能会采用更复杂的算法，如泰勒级数、范围约简（range reduction）等技术。

此外，由于浮点数计算的固有性质，即使是使用最精确的方法，对于某些极端值或特殊情况，计算结果也可能会有微小的误差。因此，在实际应用中，应该始终考虑浮点数的精度和误差问题。

四、注意事项

4.1. 参数类型

在大多数编程语言中，这些函数接受的参数应为数值类型（如整数、浮点数等）。如果传入非数值类型（如字符串、日期等），则可能会引发错误或返回异常值。
在C标准库中，所有的三角函数（如sin(), cos(), tan()）和反三角函数（如asin(), acos(), atan()）都期望其参数是以弧度为单位的，而不是度数。如果有一个以度数为单位的角，需要先将其转换为弧度，然后再传递给这些函数。弧度和度数之间的转换关系很简单：
- 弧度=度数×180π
- 度数=弧度×π180

4.2. 计算精度

由于浮点数计算的固有性质，对于非常大的x值，sinh和cosh函数可能会导致数值溢出。因此，在使用时需要注意x的取值范围，以避免不必要的精度损失或错误。
tanh函数由于其值域限制在(-1, 1)之间，因此在处理大数时相对更稳定，但仍然需要注意数值精度的问题。

4.3. 函数返回值

sinh和cosh函数的返回值可以是任意实数，因此需要考虑返回值的大小和精度。
tanh函数的返回值在(-1, 1)之间，这有助于在某些应用中避免数值的极端波动。

4.4. 环境差异

在不同的编程语言或数学库中，这些函数的实现可能略有差异。因此，在使用时需要参考具体环境或库的文档说明。
特别是在使用Oracle等数据库系统时，需要注意函数的具体语法和使用方式可能与标准数学库有所不同。

4.5. 物理与几何应用

双曲函数在双曲几何、物理学（如高速运动或强引力场问题）等领域有重要应用。在使用时，需要根据具体的应用场景选择合适的函数和参数。

4.6. 编程实践

在编程时，应确保正确引用和调用这些函数。例如，在Excel中使用SINH函数时，需要先输入等号“=”，然后输入函数名和参数；在Oracle数据库中，则需要注意COSH等函数的语法差异。

在C语言中，可以使用M_PI（定义在<math.h>中，但可能需要包含<math_definitions.h>或定义_USE_MATH_DEFINES宏来确保它可用）来表示π的值。

五、示例代码

#include <stdio.h>  
#include <math.h>  int main() {  double x = 1.0; // 示例输入值  // 计算并打印双曲正弦值  double sinh_x = sinh(x);  printf("sinh(%.2f) = %.2f\n", x, sinh_x);  // 计算并打印双曲余弦值  double cosh_x = cosh(x);  printf("cosh(%.2f) = %.2f\n", x, cosh_x);  // 计算并打印双曲正切值  double tanh_x = tanh(x);  printf("tanh(%.2f) = %.2f\n", x, tanh_x);  // 尝试一个较大的值，观察tanh的行为  x = 10.0;  tanh_x = tanh(x);  printf("tanh(%.2f) = %.2f (approaching 1 as x increases)\n", x, tanh_x);  // 尝试一个较大的负值，观察tanh的行为  x = -10.0;  tanh_x = tanh(x);  printf("tanh(%.2f) = %.2f (approaching -1 as x decreases)\n", x, tanh_x);  // 尝试0值，观察结果  x = 0.0;  sinh_x = sinh(x);  cosh_x = cosh(x);  tanh_x = tanh(x);  printf("sinh(%.2f) = %.2f\n", x, sinh_x);  printf("cosh(%.2f) = %.2f\n", x, cosh_x);  printf("tanh(%.2f) = %.2f\n", x, tanh_x);  return 0;  
}