前言

最近机试没少吃不会质因数分解的亏，用传统的求得因子个数只能过一点点…(ex, 20%)
质因数分解后，可以将因子问题转化为 集合的组合问题，因此会很快，目测是 $logn$ (n是该整数的值)。

传统解法

假设输入整数的数值是n, 那么时间复杂度就是 $\sqrt{n}$, 显然数字很大时不能接受…

// 朴素方法  sqrt(n)
int calFactorNUmSimple(int num) {unordered_map<int, int> umap;umap[1] = 1;umap[num] = 1;for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) {umap[i] = 1;umap[num / i] = 1;}}cout << "(simple)factor num: " <<  umap.size() << endl;// for (auto it: umap)//     cout << it.first << " ";// cout << endl;return umap.size();
}

多嘴一句，如果不想输出因子是啥，也不用开一个map, 直接用一个变量存一下个数就行。

int calFactorNUmSimpleJustForNum(int num) {int res = 2;for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) {res++;if (i != num / i)res++;}}cout << "(simple)factor num: " <<  res << endl;return res;
}

质因数分解算法

没有仔细求证，目测 $O(logn)$ 的时间复杂度。
该算法核心是 将一个数分成一个个质因数集合，每个值为 i 集合可以选出来 0到 umap[i] 个元素
因此构成的因子种类或者说个数就是 每个集合的个数 + 1 后 再相乘了
比如 $108=2^2\ast 3^3$, 这个例子中 我们把 108 分成 两个质因数 2 和 3 的集合，他们分别有2个元素和3个元素，
那么总的因子种类就是 我们可以在 2 的集合中取 0 个（0个就是2的0次方就是1）或 1个，2个；
同理，从3的质因数集合中可以取 0个，1个， 2个，3个； 那么最终因数种类就是 $(2+1)(3+1)=12$个

具体地，我们从 2的质因数集合中取 1个，从3的质因数集合中取2个，那么当前的因子就是 $2^1\times 3^2=18$。

int calFactorNum(int num) {unordered_map<int, int> umap; int x = num;for (int i = 2; i * i <= x; i++) {while (x % i == 0) {x /= i;umap[i]++;}}if (x > 1)  // 没除完，那么 x 本身也是一个质数umap[x]++;// 一个数分成一个个质因数集合，每个值为 i 集合可以选出来 0到umap[i]个元素// 因此构成的因子种类/个数就是  每个集合的个数 + 1 后 再相乘了int res = 1;for (auto it: umap) {// cout << "val: " << it.first << ", exp: " << it.second << endl;res *= (it.second + 1);}cout << "factor num:" << res << endl;return res;
}

lc 2521

2521. 数组乘积中的不同质因数数目
可以练练手

class Solution {
public:int distinctPrimeFactors(vector<int>& nums) {unordered_map<int, int> umap;for(auto x: nums) {// 每个数都来一次质因数分解for (int i = 2; i * i <= x; i++) {while(x % i == 0) {umap[i]++;x /= i;}}if (x > 1)umap[x]++;}return umap.size();}
};

demo完整代码

本案例完整代码 (C++11以上标准即可运行)

//分解质因子 
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;// 输出一下质因数分解
void tryOutputPrimeFactor(int num) {cout << num << "=";int x = num;for (int i = 2; i <= x; i++) { //循环查找判断质因数while (x % i == 0) { //若i为num的质因数，则输出icout << i;x /= i;    //对num除以i后的数求取质因数if (x != 1)//判断num是否除尽 cout << "*";}}cout << endl;
}// 朴素方法  sqrt(n)
int calFactorNUmSimple(int num) {unordered_map<int, int> umap;umap[1] = 1;umap[num] = 1;for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) {umap[i] = 1;umap[num / i] = 1;}}cout << "(simple)factor num: " <<  umap.size() << endl;// for (auto it: umap)//     cout << it.first << " ";// cout << endl;return umap.size();
}int calFactorNUmSimpleJustForNum(int num) {int res = 2;for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) {res++;if (i != num / i)res++;}}cout << "(simple)factor num: " <<  res << endl;return res;
}int calFactorNum(int num) {unordered_map<int, int> umap; int x = num;for (int i = 2; i * i <= x; i++) {while (x % i == 0) {x /= i;umap[i]++;}}if (x > 1)  // 没除完，那么 x 本身也是一个质数umap[x]++;// 一个数分成一个个质因数集合，每个值为 i 集合可以选出来 0到umap[i]个元素// 因此构成的因子种类/个数就是  每个集合的个数 + 1 后 再相乘了int res = 1;for (auto it: umap) {// cout << "val: " << it.first << ", exp: " << it.second << endl;res *= (it.second + 1);}cout << "factor num:" << res << endl;return res;
}int main()
{int num = 108;// calFactorNUmSimple(num);calFactorNUmSimpleJustForNum(num);calFactorNum(num);return 0;
}

output:

(simple)factor num: 12
factor num:12