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1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

• 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

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2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

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3. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

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4. 二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

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5. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空
2. 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空
3. 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空对应以上四种情况的解决方案：
5. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）
6. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
7. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
8. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

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简单来说就是：

1. 删除叶子节点–>直接删
2. 被删除结点无左子树–>将该节点右子树的根代替该节点
   例如：要删除23，可以把34代替它。
   
3. 被删除结点无右子树–>将该节点左子树的根代替该节点
   例如：要删除8，可以把1代替它。
   
4. 左右都有孩子–>找它的前驱（左子树里最大的元素）或者后继（右子树里最小的元素）
   
   例如：删除39
   可以直接把34换过去，也可以把46换过去，46换过去就和上面第二点一样。

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6. 二叉搜索树的实现代码

// 二叉搜索树节点结构
template<class K>
struct BSTNode
{K _key;                    // 节点中存储的关键码BSTNode<K>* _left;        // 左子树指针BSTNode<K>* _right;       // 右子树指针// 节点构造函数BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};// 二叉搜索树类
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;   // 类型重定义，简化代码
public:// 插入关键码keybool Insert(const K& key){// 空树情况：直接创建根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}// 非空树：查找插入位置Node* parent = nullptr;    // 记录父节点Node* cur = _root;         // 当前遍历节点while (cur){if (cur->_key < key)           // key大，往右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key)      // key小，往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else                           // key已存在{return false;}}// 创建新节点并连接到合适位置cur = new Node(key);if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}// 查找关键码key是否存在bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)           // key大，往右找cur = cur->_right;else if (cur->_key > key)      // key小，往左找cur = cur->_left;else                           // 找到了return true;}return false;                      // 没找到}// 删除关键码keybool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 查找要删除的节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else  // 找到要删除的节点{// 情况1：左子树为空if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr)  // 要删除的是根节点{_root = cur->_right;}else  // 非根节点{// 将父节点对应的指针指向被删除节点的右子树if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}// 情况2：右子树为空else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr)  // 要删除的是根节点{_root = cur->_left;}else  // 非根节点{// 将父节点对应的指针指向被删除节点的左子树if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}// 情况3：左右子树都不为空else{// 找右子树最小节点（最左节点）替换当前节点Node* rightMinP = cur;  // 最小节点的父节点Node* rightMin = cur->_right;  // 最小节点while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 用最小节点的值替换当前节点的值cur->_key = rightMin->_key;// 删除最小节点if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;  // 没找到要删除的节点}// 中序遍历入口函数void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:// 中序遍历实现函数void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);    // 遍历左子树cout << root->_key << " "; // 访问根节点_InOrder(root->_right);   // 遍历右子树}private:Node* _root = nullptr;  // 树的根节点指针
};

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7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2：检查一篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

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在二叉搜索树中，key实际上是可以修改的，但是不建议直接修改key，原因如下：

1. 破坏二叉搜索树的性质：

例如这样的树：5/ \3   7/ \6   8如果我们直接修改节点6的key为9：5/ \3   7/ \9   8   // 破坏了BST性质！

2. 正确的修改方式：

// 如果需要修改key，应该：
1. 先删除旧的节点
2. 再插入新的节点// 伪代码：
void ModifyKey(const K& oldKey, const K& newKey)
{Node* node = Find(oldKey);if (node){V value = node->_value;  // 保存原来的valueErase(oldKey);          // 删除旧节点Insert(newKey, value);  // 插入新节点}
}

总结：

• key可以修改，但不建议直接修改
• 如果需要修改key，应该通过删除旧节点并插入新节点的方式
• 这样可以保证二叉搜索树的基本性质不被破坏
• 保持树结构的正确性和查找效率

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7.2 key/value搜索场景：

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

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7.3 主要区别：

1. 只有key的场景：
   • 只需要判断存在性
   • 不能修改key
   • 数据结构更简单
2. key-value的场景：
   • 需要存储和查找关联数据
   • 可以修改value
   • 不能修改key
   • 适合需要映射关系的场景

注意事项：

• 两种情况都不能修改key，因为会破坏二叉搜索树的性质
• key-value结构更灵活，但占用更多内存
• 选择哪种结构取决于具体应用需求

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7.4 key/value二叉搜索树代码实现

// 二叉搜索树节点结构，支持key-value对
template<class K, class V>
struct BSTNode
{// pair<K, V> _kv;  // 也可以用pair存储键值对K _key;             // 关键码V _value;          // 对应的值BSTNode<K, V>* _left;   // 左子树指针BSTNode<K, V>* _right;  // 右子树指针// 节点构造函数BSTNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};// 二叉搜索树类
template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTNode<K, V> Node;
public:BSTree() = default;  // 使用默认构造函数// 拷贝构造函数BSTree(const BSTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);  // 深拷贝}// 赋值运算符重载（现代写法：拷贝交换）BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t){swap(_root, t._root);  // 交换根节点return *this;}// 析构函数~BSTree(){Destroy(_root);     // 释放所有节点_root = nullptr;}// 插入键值对bool Insert(const K& key, const V& value){// 空树情况if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}// 查找插入位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else  // 键已存在{return false;}}// 创建新节点并连接cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}// 查找指定key的节点，返回节点指针Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)cur = cur->_right;else if (cur->_key > key)cur = cur->_left;elsereturn cur;  // 找到返回节点指针}return nullptr;    // 没找到返回空}// 删除指定key的节点bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else  // 找到要删除的节点{// 情况1：左子树为空if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr)  // 删除的是根节点_root = cur->_right;else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}// 情况2：右子树为空else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr)  // 删除的是根节点_root = cur->_left;else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}// 情况3：左右子树都不为空else{// 找右子树最小节点Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 替换当前节点的值cur->_key = rightMin->_key;// 删除替换节点if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}// 中序遍历入口函数void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:// 中序遍历实现函数void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}// 销毁树的递归函数void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);    // 销毁左子树Destroy(root->_right);   // 销毁右子树delete root;            // 删除当前节点}// 拷贝树的递归函数Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;// 创建新节点并递归拷贝左右子树Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;  // 树的根节点
};// 示例1：简单的英汉字典
int main()
{BSTree<string, string> dict;// 插入单词和翻译dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("insert", "插入");dict.Insert("string", "字符串");// 查询单词string str;while (cin>>str){auto ret = dict.Find(str);if (ret)cout << "->" << ret->_value << endl;elsecout << "无此单词，请重新输入" << endl;}return 0;
}// 示例2：统计水果出现次数
int main()
{string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };BSTree<string, int> countTree;// 遍历数组统计每个水果出现的次数for (const auto& str : arr){auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL)countTree.Insert(str, 1);  // 第一次出现elseret->_value++;            // 已存在，计数加1}// 打印统计结果countTree.InOrder();return 0;
}