7.傅里叶级数练习题

设函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& 0\le x\le \frac{1}{2},\\ 2-2x,& \frac{1}{2}<x<1,\end{array}$$
将 (f(x)) 展开成周期 (T = 2) 的正弦级数，则：
$$S\left(-\frac{5}{2}\right)=?$$

(A) (0)
(B) (\frac{1}{4})
© (-\frac{1}{4})
(D) (1)

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解答

注意周期 (T = 2) 且为正弦级数，由傅里叶级数收敛定理，可计算如下：

$$S\left(-\frac{5}{2}\right)=S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{1}{2}-0\right)+f\left(\frac{1}{2}+0\right)\right].$$

根据定义，代入 (f(x)) 的表达式：
$$f\left(\frac{1}{2}-0\right)=-\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}+0\right)=2-2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

因此：
$$S\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}+1\right]=-\frac{1}{4}.$$

答案

选择 ©。

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设 $ f(x) $ 的周期为 $ 2\pi $，在 $(-\pi ,\pi ]$ 上 $ f(x) = x + x^2 $，其三角级数为

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=S(x)$$

则 $ b_3 + S(π) = $

(A) 0.

(B) $ π^2 $.

© $ \frac{2}{3} + π^2 $.

(D) $ \frac{2}{3} - π^2 $.

解析

选 ©.

$$b_3=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(x+x^2)\sin 3xdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin 3xdx=\frac{2}{3},$$

$$S(\pi )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\pi +b_n\sin n\pi )=f^{\ast }(\pi )=\frac{f({\pi }^{-})+f(-{\pi }^{+})}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\left[(\pi +{\pi }^2)+(-\pi +{\pi }^2)\right]={\pi }^2,$$

故 $ b_3 + S(π) = \frac{2}{3} + π^2 $.