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前言

计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间复杂度（要通过多少步才能解决问题）和空间复杂度（在解决问题时需要多少内存）。其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。复杂度是学习计算机和数据结构比较基础的知识，下文我们来介绍一下。

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、算法效率

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

1.定义

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

因为一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.一般常见复杂度

4.实例

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

实例8通过计算分析发现基本操作递归了2的N次方，时间复杂度为O(N^2)。（建议画图递归栈帧的二叉树理解）

三、空间复杂度

1.定义

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。

2.空间复杂度计算

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.实例

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

实例使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

实例递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

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总结

这一篇是作者对复杂度的理解，希望看到的朋友能一键三连，积极评论，共同进步。