个人博客！无广告观看，因为这节内容太多了，有点放不下，分了三节

快速小波变换(The Fast Wavelet Transform)

实现DWT的快速实现。

再次考虑MRA方程:
$$\phi (x)=\sum _n{h}_{\phi }(n)\sqrt{2}\phi (2x-n)$$
将$x$乘以$2^j$，平移$k$，并令$m=2k+n$，得到 :
$$\begin{array}{rl}\phi (2^{j}x-k)& =\sum _n{h}_{\phi }(n)\sqrt{2}\phi (2(2^{j}x-k)-n)\\ & =\sum _n{h}_{\phi }(n)\sqrt{2}\phi (2^{j+1}x-2k-n)\\ & =\sum _m{h}_{\phi }(m-2k)\sqrt{2}\phi (2^{j+1}x-m)\end{array}$$
对于小波函数，有类似结果：
$$\psi (2^{j}x-k)=\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\sqrt{2}\phi (2^{j+1}x-m)$$
对于离散小波函数，有：
$$W_{\psi }(j,k)=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum _{x}f(x)2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)$$
进一步，有：
$$W_{\psi }(j,k)=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum _{x}f(x)2^{j/2}\left[\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\sqrt{2}\phi (2^{j+1}x-m)\right]$$
交换求和与积分并重新排列项，得到 ：
$$\begin{gathered} W_{\psi }(j,k)=\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\left[\frac{1}{\sqrt{M}}\sum _{x}f(x)2^{(j+1)/2}\phi (2^{j+1}x-m)\right] \\ {W}_{\psi }(j,k)=\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)W_{\phi }(j+1,m) \\ 同理,W_{\phi }(j,k)=\sum _m{h}_{\phi }(m-2k)W_{\phi }(j+1,m) \end{gathered}$$
上述方程表示了快速小波变换(FWT), 揭示了相邻尺度的离散小波变换（DWT）系数之间的显著关系。

可以看到，尺度$j$的近似系数$W_{\phi }(j,k)$和细节系数$W_{\psi }(j,k)$都可以通过将尺度$j+1$的近似系数$W_{\phi }(j+1,k)$与时间反转的缩放向量$h_{\phi }(-n)$和小波向量$h_{\psi }(-n)$进行卷积，并对结果进行下采样得到。

与两频段子带编译码系统的关系

Q: 两频段子带编译码系统?

A: 是一种将信号分解为低频和高频子带的系统

1. 低通通道（Low-Pass Channel）：对应于尺度滤波器 $h_{\phi }(n)$，用于提取信号的低频成分。
2. 高通通道（High-Pass Channel）：对应于小波滤波器 $h_{\psi }(n)$，用于提取信号的高频成分。

∑ k g 0 ( k ) h 0 ( n − k ) + ( − 1 ) n ∑ k g 0 ( k ) h 0 ( n − k ) = 2 δ ( n ) ， δ ( n ) = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 ∑ k g 0 ( k ) h 0 ( 2 n − k ) = ⟨ g 0 ( k ) , h 0 ( 2 n − k ) ⟩ = δ ( n ) ⟨ h i ( 2 n − k ) , g j ( k ) ⟩ = δ ( i − j ) δ ( n ) i , j ∈ { 0 , 1 } \sum_{k}g_{0}(k)h_{0}(n - k)+(-1)^{n}\sum_{k}g_{0}(k)h_{0}(n - k)=2\delta(n)，\delta{(n)}=\begin{cases}1 ,&n=0\\0, &n\neq 0\end{cases}\\ \sum_{k}g_{0}(k)h_{0}(2n - k)=\langle g_{0}(k),h_{0}(2n - k)\rangle=\delta(n)\\ \langle h_{i}(2n - k),g_{j}(k)\rangle=\delta(i - j)\delta(n)\quad i,j\in\{0,1\} k∑​g0​(k)h0​(n−k)+(−1)nk∑​g0​(k)h0​(n−k)=2δ(n)，δ(n)={1,0,​n=0n=0​k∑​g0​(k)h0​(2n−k)=⟨g0​(k),h0​(2n−k)⟩=δ(n)⟨hi​(2n−k),gj​(k)⟩=δ(i−j)δ(n)i,j∈{0,1}

上述快速小波变换过程与两频段子带编译码系统的分析部分相同，其中:
$$\begin{gathered} h_0(n)=h_{\phi }(-n) \\ {h}_1(n)=h_{\psi }(-n) \end{gathered}$$
可以写出 :
$$\begin{gathered} W_{\psi }(j,k)=h_{\psi }(-n)\ast W_{\phi }(j+1,n){|}_{n=2k,k\ge 0} \\ {W}_{\phi }(j,k)=h_{\phi }(-n)\ast W_{\phi }(j+1,n){|}_{n=2k,k\ge 0} \end{gathered}$$
其中卷积在$n=2k(k\ge 0)$时刻进行求值。在非负、偶数时刻，计算卷积与以2为步长进行过滤和抽样的效果相同。

值得注意的是，滤波器组可以“迭代”以创建多级结构，用于计算两个或多个连续尺度的 DWT 系数，如图所示。

例：计算一维小波变换

与上面的例子同： f ( n ) = { 1 , 4 , − 3 , 0 } f(n)=\{1,4,-3,0\} f(n)={1,4,−3,0}, 但现在使用相应的尺度和小波向量：
$$

h_{\varphi}(n)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}},&n=0,1\0,& otherwise\end{cases}\\
h_{\psi}(n)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}},&n=0\-\frac{1}{\sqrt{2}},&n=1\0,& otherwise\end{cases}
$$
这是用于建立FWT滤波器族的函数，它们给出了滤波器系数。

一维快速小波反变换

上采样序列定义为：
$$y_{2\uparrow }(n)=\{\begin{array}{ll}y(n/2),& n是偶数\\ 0,& 其他\end{array}$$
其中$y(n)$是一维取样序列，上采样因子为2。因子2上取样可以被视为在$y(n)$的每个样本后插入一个0.

例：计算一维小波反变换

快速小波反变换的计算与正变换的计算呈镜像关系。在开始计算之前，先对0级近似系数和细节系数进行上取样，分别得到{4,0},{1,0},然后继续向右移动，卷积，最终可以得到$f(x)=T_{\phi }(2,n)$.

FFT与FWT的区别

• 计算长度为$M=2^j$序列的FWT所涉及的数学运算量为$O(M)$阶。
• 这与FFT算法相比具有优势，FFT算法需要$O(M\log M)$。
• 虽然傅里叶基函数（即正弦函数）保证了FFT的存在，但FWT的存在取决于所使用小波的缩放函数的可用性，以及缩放函数和相应小波的正交性（或双正交性）。
• FFT无法同时在时间和频率上分析函数，但FWT可以。

小波包(Wavelet Packets)

快速小波变换（FWT）将函数分解为尺度和小波函数之和，其中尺度和小波函数的带框呈对数关系。也就是说，函数的低频内容被分组到窄频带(尺度和小波函数)中，而高频内容被分组到较宽的频带(尺度和小波函数)中。

如果我们想要对时频平面的划分进行更精细的控制，FWT必须被推广以产生一种更灵活的分解——称为小波包。

分析树

根节点被赋予最高尺度的近似系数，这些系数是函数本身的样本，而叶子节点继承变换的近似和细节系数输出。注意：每个节点的系数都是线性展开的权重。

例：三尺度分析树

例如，上图中的三尺度分析树提供了以下三种展开选项：
$$\begin{array}{rl}{V}_j& =V_{j-1}\oplus W_{j-1}\\ V_j& =V_{j-2}\oplus W_{j-2}\oplus W_{j-1}\\ V_j& =V_{j-3}\oplus W_{j-3}\oplus W_{j-2}\oplus W_{j-1}\end{array}$$
其中 $\oplus$表示空间的直和（类似于集合的并集）。

分析树也是表示小波包的一种有效机制，小波包不过是对细节进行迭代滤波的常规小波变换。因此，上图(b)中的三尺度FWT分析树变成了下图中的三尺度小波包树。

$A$表示近似滤波、$D$表示细节滤波。图中的小波包树支持26种不同的分解。例如，$V_j$可以展开为:
$$\begin{gathered} V_J=V_{J-3}\oplus W_{J-3}\oplus W_{J-2,A}\oplus W_{J-2,D}\oplus W_{J-1,AA}\oplus W_{J-1,AD}\oplus W_{J-1,DA}\oplus W_{J-1,DD} \\ {V}_J=V_{J-1}\oplus W_{J-1,D}\oplus W_{J-1,AA}\oplus W_{J-1,AD} \end{gathered}$$

一般来说，$P$尺度的一维小波包变换（以及相关的$P+1$级分析树）支持:
$$D(P+1)=[D(P){]}^2+1$$
种独特的分解，其中$D(1)=1$。

lign}
V_j& = V_{j - 1} \oplus W_{j - 1}\
V_j &= V_{j - 2} \oplus W_{j - 2} \oplus W_{j - 1}\
V_j &= V_{j - 3} \oplus W_{j - 3} \oplus W_{j - 2} \oplus W_{j - 1}
\end{align}
$$
其中 $\oplus$表示空间的直和（类似于集合的并集）。

分析树也是表示小波包的一种有效机制，小波包不过是对细节进行迭代滤波的常规小波变换。因此，上图(b)中的三尺度FWT分析树变成了下图中的三尺度小波包树。

[外链图片转存中…(img-D1xm8JZn-1735127696455)]

$A$表示近似滤波、$D$表示细节滤波。图中的小波包树支持26种不同的分解。例如，$V_j$可以展开为:
$$\begin{gathered} V_J=V_{J-3}\oplus W_{J-3}\oplus W_{J-2,A}\oplus W_{J-2,D}\oplus W_{J-1,AA}\oplus W_{J-1,AD}\oplus W_{J-1,DA}\oplus W_{J-1,DD} \\ {V}_J=V_{J-1}\oplus W_{J-1,D}\oplus W_{J-1,AA}\oplus W_{J-1,AD} \end{gathered}$$
[外链图片转存中…(img-zdaG9cvw-1735127696455)]

[外链图片转存中…(img-oieYA8Vt-1735127696456)]

一般来说，$P$尺度的一维小波包变换（以及相关的$P+1$级分析树）支持:
$$D(P+1)=[D(P){]}^2+1$$
种独特的分解，其中$D(1)=1$。