第五章 树和二叉树
一、单项选择题
1．关于二叉树的下列说法正确的是 (1)。
(1)：A．二叉树的度为2 B．二叉树的度可以小于2
C．每一个结点的度都为2 D．至少有一个结点的度为
2．设深度为h(h>0)的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此二叉树中所含的结点总数至少为 （2）。
(2)A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+1
3．在树中，若结点A有4个兄弟，而且B是A的双亲，则B的度为 (3) 。
(3)：A．3 B．4 C．5 D．6
4．若一棵完全二叉树中某结点无左孩子，则该结点一定是 (4) 。
(4)：A.度为1的结点 B．度为2的结点 C．分支结点 D．叶子结点
5．深度为k的完全二叉树至多有 (5) 个结点，至少有 (6) 个结点。
(5)-(6)：A．2k-1-1 B．2k-1 C．2k-1 D．2k
6．前序序列为ABC的不同二叉树有 (7) 种不同形态。
(7)：A．3 B．4 C．5 D．6
7．若二叉树的前序序列为DABCEFG，中序序列为BACDFGE，则其后序序列为 (8) ，层次序列为 (9) 。
(8)-(9)：A．BCAGFED B．DAEBCFG C．ABCDEFG D．BCAEFGD
8．在具有200个结点的完全二叉树中，设根结点的层次编号为1，则层次编号为60的结点，其左孩子结点的层次编号为 (10) ，右孩子结点的层次编号为 (11) ，双亲结点的层次编号为 (12)。
(10)-(12)：A．30 B．60 C．120 D．121
9．遍历一棵具有n个结点的二叉树，在前序序列、中序序列和后序序列中所有叶子结点的相对次序 (13) 。
(13)：A.都不相同 B．完全相同 C．前序和中序相同 D．中序与后序相同
10．在由4棵树组成的森林中，第一、第二、第三和第四棵树组成的结点个数分别为30，10，20，5，当把森林转换成二叉树后，对应的二叉树中根结点的左子树中结点个数为 （14） ，根结点的右子树中结点个数为 (15) 。
(14)—(15)：A．20 B．29 C．30 D．35
11.具有n个结点(n>1)的二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树中除叶子结点外每个结点 (16) 。
(16)：A.仅有左孩子 B．仅有右孩子 C．仅有一个孩子 D．都有左、右孩子
12．判断线索二叉树中p结点有右孩子的条件是 (17) 。
(17)：A.p!=NULL B．p->rchild!=NULL C．p->rtag=0 D．p->rtag=1
13．将一棵树转换成二叉树，树的前根序列与其对应的二叉树的 (18) 相等。树的后根序列与其对应的二叉树的 (19)相同。
(18)—(19)：A．前序序列 B．中序序列 C．后序序列 D．层次序列
14．设数据结构(D，R)，D={dl，d2，d3，d4，d5，d6}，R={<d4，d2>，<d2，d1>，<d2，d3>，<d4，d6>，<d6，d5>}，这个结构的图形是 (20) ；用 (21) 遍历方法可以得到序列{d1，d2，d3，d4，d5，d6}。
(20)：A．线性表 B．二叉树C．队列 D．栈
(21)：人前序 B．中序 C．后序 D．层次
15．对于树中任一结点x，在前根序列中序号为pre(x)，在后根序列中序号为post(x)，若树中结点x是结点y的祖先，下列 （22） 条件是正确的。
(22)：A.pre(x)<pre(y)且post(x)<post(y)
B．pre(x)<pre(y)且post(x)>post(y)
C. pre(x)>pre(y)且post(x)<post(y)
D．pre(x)>pre(y)且post(x)>post(y)
16．每棵树都能惟一地转换成对应的二叉树，由树转换的二叉树中，一个结点N的左孩子是它在原树对应结点的 (23) ，而结点N的右孩子是它在原树里对应结点的 (24) 。
(23)—(24)：A．最左孩子 B．最右孩子 C．右邻兄弟 D．左邻兄弟
17．二叉树在线索化后，仍不能有效求解的问题是 (25) 。
(25)：A．前序线索树中求前序直接后继结点
B．中序线索树中求中序直接前驱结点
C．中序线索树中求中序直接后继结点
D．后序线索树中求后序直接后继结点
18．一棵具有124个叶子结点的完全二叉树，最多有 (26)个结点。
(26)：A．247 B．248 C．249 D．250 。
19．实现任意二叉树的后序遍历的非递归算法而不使用栈结构，最有效的存储结构是采用 （27） 。
(27)：A. 二叉链表 B．孩子链表 C．三叉链表 D．顺序表
二、填空题
1.树中任意结点允许有 （1）孩子结点，除根结点外，其余结点 （2） 双亲结点。
2.若一棵树的广义表表示为A(B(E，F)，C(C(H，I，J，K)，L)，D(M(N)))。则该树的度为 (3) ，树的深度为 (4) ，树中叶子结点个数为 (5) 。
3．若树T中度为1、2、3、4的结点个数分别为4、3、2、2，则T中叶子结点的个数是 (6) 。
4．一棵具有n个结点的二叉树，若它有m个叶子结点，则该二叉树中度为1的结点个数是 (7) 。
5．深度为k(k>0)的二叉树至多有 (8) 个结点，第i层上至多有 (9) 个结点。
6．已知二叉树有52个叶子结点，度为1的结点个数为30则总结点个数为 (10) 。
7．已知二叉树中有30个叶子结点，则二叉树的总结点个数至少是 （11） 。
8．高度为6的完全二叉树至少有 (12) 个结点。
9．一个含有68个结点的完全二叉树，它的高度是 (13) 。
10．已知一棵完全二叉树的第6层上有6个结点(根结点的层数为1)，则总的结点个数至少是 (14) ，其中叶子结点个数是 （15） 。
11．已知完全二叉树第6层上有10个叶子结点，则这棵二叉树的结点总数最多是 （16） 。
12．一棵树转换成二叉树后，这棵二叉树的根结点一定没有 (17) 孩子，若树中有m个分支结点，则与其对应的二叉树中无右孩子的结点个数为 （18） 。
13．若用二叉链表示具有n个结点的二叉树，则有 （19） 个空链域。
14．具有m个叶子结点的哈夫曼树，共有 （20）个结点。
15．树的后根遍历序列与其对应的二叉树的 （21） 遍历序列相同。
16．线索二叉树的左线索指向其 （22） ，右线索指向其 （23） 。
三、应用题
1．具有n个结点的满二叉树的叶子结点个数是多少?
2．列出前序遍历序列是ABC的所有不同的二叉树。
3．已知二叉树的层次遍历序列为ABCDEFGHIJK，中序序列为DBGEHJACIKF，请构造一棵二叉树。
4．已知二叉树的中序遍历序列是ACBDGHFE，后序遍历序列是ABDCFHEG，请构造一棵二叉树。
5．已知二叉树的前序、中序和后序遍历序列如下，其中有一些看不清的字母用表示，请先填写处的字母，再构造一棵符合条件的二叉树，最后画出带头结点的中序线索链表。
(1)前序遍历序列是：BCG
(2)中序遍历序列是：CBEAGH*
(3)后序遍历序列是：*EDB**FA
6．将下图所示的森林转换成一棵二叉树，并画出这棵二叉树的顺序存储结构。
7．将下图所示的二叉树还原成森林。
8．对于给定的一组权值{3，5，6，7，9}，请构造相应的哈夫曼树，并计算其带权路径长度。
四、算法设计题
1．请设计一个算法，求以孩子兄弟链表表示的树中叶子结点个数。
2．请编写一个算法，实现将以二叉链表存储的二叉树中所有结点的左、右孩子进行交换。
3．请编写一个算法，将以二叉链表存储的二叉树输出其广义表表示形式。
4．请编写一个算法，判断以二叉链表存储的二叉树是否为完全二叉树。
5．假设二叉树采用链接存储方式存储，编写一个二叉树先序遍历和后序遍历的非递归算法。…
6．已知一棵二叉树用二叉链表存储，t指向根结点，p指向树中任一结点。请编写一个非递归算法，实现求从根结点t到结点p之间的路径。
参考答案
第五章
一、单项选择题
(1)-(5)BBCDC (6)-(10)BCABC (11)—(15)DABBD (16)-(19)CCABB
(20)-(24) BBBAC (25)-(27)DBC
二、填空题
（1）有零个或多个 （2）有且仅有一个
（3）根据树的广义表表示，可以画出这棵村，该树的度为4。
（4）树的深度为4
(5)树中叶子结点个数为8
（6）n0=14 (7)n-2m+1 (8)2k-1 (9)2i-1 (10)133 (11)59
(12)25=32 (13)log2(n+1)=log269=7 (14) 25-1+6=37 (15) 19
(16)27-1-20=107 (17)右 （18）m+1 (19)n+1 (20) 2m-1
(21)中序 （22）直接前驱结点 （23）直接后继结点
三、应用题
1.具有n个结点的满二叉树中只有度为2和度为0的结点，故n=2n0-1,n0=(n+1)/2。
5．构造一棵二叉树应该先确定根结点，由后序序列最后一个字母A确定根结点，可将前序序列的第一个字母改为A。在中序遍历序列中A的左子树中含4个字母，右子树中含3个字母，在后序遍历序列中左子树的后序遍历子序列为EDB，可将左子树的后序遍历序列和中序遍历序列互相补足，分别是CEDB和CBDE。由这两个子序列可知左子树的根结点为B，D又为以B为根结点的右子树的根结点，E为D的右孩子，所以在前序序列中A的左子树的前序序列为：BCDE，在根结点A的右子树中，由后序遍历序列可确定其根结点为F，再确定其中序序列为GHF，进一步确定其前序序列为FGH，补足*处后，三个遍历序列为：
(1)前序遍历序列是：ABCDEFGH
(2)中序遍历序列是：CBDEAGHF
(3)后序遍历序列是：CEDBHGFA
由前序遍历序列和中序遍历序列可构造一棵二叉树如右图。
四、算法设计题
1.求叶子结点个数。
算法描述如下：
int leafnum(Csnode *t,int n)
{Gsnode *p;
if(tNULL) return 0;
p=t->fc;
if(pNULL)
n++;
while§
{n=leaf(p,n);
p=p->ns;
}
return n;
}
2.交换左右孩子。算法如下：
void exchange(Btnode *t)
{Btnode *p;
if(t)
{exchange(t->lchild);
exchange(t->rchild);
if(t->lchild||t->rchild)
{p=t->lchild;
t->lchild=t->rchild;
t->rchild=p;}
}
}
3.void printbtree(Btnode *r)
{if®
{printf(“%c”,r->data);
if(r->lchild||r->rchild)
printf(“(”);
printbtree(r->lchild);
if(r->rchild)
printf(“,”);
printbtree(t->rchild);
printf(“)”);
}
}
4. #define MAX 100
int checkt(Btnode t)
{Btnode s[MAX];
int i,n=0;
for(i=0;i<MAX,i++)
s[i]=NULL;
if(t==NULL)
return 0;
i=0;
S[0]=t;
While(I<=n)
{if(!s[i])
return 0;
if(s[i]->lchild)
{n=2i+1;
s[n]=s[i]->lchild;
}
if(s[i]->rchild)
{n=2i+2;
s[n]=s[i]->rchild;
}
i++;
}
return 1;
}
5．(1)前序遍历二叉树的非递归算法的基本思想是：从二叉树的根结点开始，沿左支一直走到没有左孩子的结点为止，在走的过程中访问所遇结点，并把非空右孩子进栈。当找到没有左孩子的结点时，从栈顶退出某结点的右孩子，此时该结点的左子树已遍历结束，然后按上述过程遍历该结点的右子树，如此重复，直到二叉树中所有结点都访问完毕为上。算法如下：
void preorder(Btnode *t)
{ int I=0;
Btnode *p,*s[M];
P=t;
Do
{ while§
{printf(“%c\t”,p->data);
if(p->rchild!=NULL)
s[i++]=p->rchild;
p=p->lchild;
}
if(i>0)
p=s[–i];
}while(i>0||p!=NULL);
}
(2)后序遍历二叉树的非递归算法的基本思想：采用一个栈保存返回的结点，先遍历根节点的所有结节点并入栈，出栈一个结点，然后遍历该结点的右结点并入栈，再遍历该右结点的所有左结点并入栈，当一个结点的左右子树均访问后再访问该结点，如此这样，直到栈为空为止。其中的难点是如何判断一个结点t的右结点已访问过，为此用p保存已访问过的结点(初值为NULL)，若t->right=p成立（在后序遍历中，t的右节点一定是在t之前访问），说明t的左右子树均已访问，现在应访问t。算法如下：
void postorder(Btree *t)
{ Btree s[maxsize];
Btree p;
int flag,top=-1;
Do
{ while(t)
{ top++;
s[top]=t;
t=t->left;
}
p=NULL;
flag=1;
while(top=-1&&flag)
{ t=s[top];
if(t->rightp)
{ printf(“%d””,t->data);
top–;
p=t;
}
else
{ t=t->right;
flag=1;
}
}
}while(top!=-1)
}
6.求二叉树中从根结点到p结点之间路径长度的算法描述如下：
#define MAX 100
void path(Btnode *t,Btnode *p)
{ Btnode *s[MAX],*q=t;
int b[MAX],top=-1;
do {
while(q)
{s[++top]=q;
b[top]=0;
q=q->lchild;
}
if(top->-1&&b[top]1)
{q=s[top];
if(qp)
{printf(“根结点到q结点的路径是：”)；
for(I=0;I<=top;I++)
printf(“%c”,s[I]->data);
return;
}
else top–;
}
if(top>-1)
{ p=s[top]->rchild;
b[top]=1;
}
}while(top>0);
}
7.判断以二叉链表存储的二叉树是否为完全二叉树的算法描述如下：
#define MAX 100
void checkt(BTnode *t)
{ Btnode *s[MAX];
int i,n=0;
for(i=0;i<MAX;i++)
s[i]=MAX;
if(tNULL)
return 0;
s[0]=t;
while(i<=n)
{ if(!s[i])
return 0;
if(s[i]->lchild)
{ n=2i+1;
s[n]=s[i]->lchild;
}
if(s[i]->rchild)
{ n=2i+2;
s[n]=s[i]->rchild;
}
i++;
}
return 1;
}
