1. 归并排序（Merge Sort）

1.1 简介

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治思想的排序算法，它的核心思想是将一个数组分成两个或多个子数组，分别对这些子数组进行排序，然后再将这些已排序的子数组合并成一个完整的、有序的数组。归并排序的主要特点是其稳定性和高效性。

1.2 归并排序的步骤

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治思想的排序算法，它的核心思想是将一个数组分成两个或多个子数组，分别对这些子数组进行排序，然后再将这些已排序的子数组合并成一个完整的、有序的数组。归并排序的主要特点是其稳定性和高效性。

1. 分解：将数组从中间（或按其他方式）分成两个或更多个子数组，直到每个子数组只包含一个元素（此时子数组自然有序）。

2. 递归排序：递归地对每个子数组进行归并排序。由于每个子数组在分解过程中最终都会变成一个元素的数组（有序），因此递归的基准条件是子数组长度为1。

3. 合并：将两个或更多个已排序的子数组合并成一个有序的数组。合并过程通常涉及比较两个子数组的元素，并按顺序将它们放入一个新的数组中。

1.3 归并排序c 语言实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 合并两个已排序的子数组
void merge(int arr[], int left, int mid, int right) {int n1 = mid - left + 1;int n2 = right - mid;// 创建临时数组int* L = (int*)malloc(n1 * sizeof(int));int* R = (int*)malloc(n2 * sizeof(int));// 拷贝数据到临时数组L[]和R[]for (int i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[left + i];for (int j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[mid + 1 + j];// 合并临时数组回到arr[left..right]int i = 0; // 初始化左子数组的起始索引int j = 0; // 初始化右子数组的起始索引int k = left; // 初始化合并后子数组的起始索引while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}// 拷贝L[]的剩余元素（如果有）while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}// 拷贝R[]的剩余元素（如果有）while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}// 释放临时数组的内存free(L);free(R);
}// 归并排序的主函数
void mergeSort(int arr[], int left, int right) {if (left < right) {// 找到中间点int mid = left + (right - left) / 2;// 递归排序两个子数组mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);// 合并两个已排序的子数组merge(arr, left, mid, right);}
}// 打印数组
void printArray(int arr[], int size) {for (int i = 0; i < size; i++)printf("%d ", arr[i]);printf("\n");
}// 主函数
int main() {int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};int arr_size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);printf("Given array is \n");printArray(arr, arr_size);mergeSort(arr, 0, arr_size - 1);printf("\nSorted array is \n");printArray(arr, arr_size);return 0;
}

代码说明

1. merge函数：这个函数负责合并两个已排序的子数组。它首先为两个子数组分配临时内存，然后将它们拷贝到临时数组中。接着，它比较两个临时数组的元素，并按顺序将它们拷贝回原数组。最后，它释放临时数组的内存。

2. mergeSort函数：这是归并排序的主函数。它首先检查左索引是否小于右索引，如果是，则找到中间点，并递归地对左右两个子数组进行排序。排序完成后，它调用merge函数来合并两个已排序的子数组。

3. printArray函数：这个函数用于打印数组的元素。

4. main函数：这是程序的入口点。它定义了一个数组，计算其大小，打印原始数组，调用mergeSort函数对数组进行排序，然后打印排序后的数组。

编译并运行此程序，你将看到原始数组和排序后的数组的输出。

1.4 时间复杂度

归并排序的时间复杂度为O(n log ⁿ)，这里的n代表数组的元素数量。这一结论源自归并排序的分治特性：

1. 分解阶段：每次都将数组一分为二，直至每个子数组仅含一个元素。此分解过程需要log n层（因为每次都将问题规模减半）。

2. 合并阶段：在合并两个已排序的子数组时，需要遍历这两个子数组的所有元素。在最坏情况下，每层合并的总操作数为n（尽管每层合并的实际操作数可能因子数组大小而异，但总操作数在n的量级上）。

1.5 空间复杂度

1. 递归调用栈：虽然递归调用栈的空间复杂度与递归的深度相关，但在归并排序中，递归深度为log n（因为每次数组都被一分为二）。然而，这部分空间复杂度通常被视为“辅助空间”的一部分，且在实际分析中可能不被单独计算（特别是当它与n相比不显著时）。

2. 合并时的临时数组：在合并两个已排序的子数组时，通常需要一个额外的、与较大子数组等大的临时数组来存储合并结果。在最坏情况下（即当两个子数组大小相近时），这个临时数组的大小为$\frac{n}{2}$近似为$\frac{n}{2}$，但在大O表示法中仍视为O(n)）。

1.6 动画