题目链接:01背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。输出最大价值。
首先,我们应该找到“01背包”问题的一个特点就是每件物品只能使用一次。 对于每一个物品,我们只需要考虑“选”或“不选”,这可能就是名字的来源吧。
“01背包”问题适合使用动态规划算法解决,也就是“记住求过的解来节省时间”。
下面先给出“01背包”问题的模板:
// v[i]->体积 w[i]->价值 // f[i][j] 放入第i个物体,背包容量为j时的总价值for(int i = 1;i <= n;i++){ //动态规划for(int j = 0;j <= m;j++){if(v[i] <= j){f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}}int res = 0; //最优解for(int j = 0;j <= m;j++){res = max(res,f[n][j]);}
接下来给大家举一个例子演示一下,方便大家理解。
我们假设有4个物品,并把每一个物品响应的体积和价值标注出来(下图的左侧),然后设置书包的体积为5。大家应该可以发现:
- 放入0个物品时,无论体积为多少,价值都为0。所以第一行全部填0。
- 当书包的体积为0时,不能放入任何物品,价值也都为0。所以第一列全部填0。
接下来看放入第1个物品会发生什么变化,也就是完善第二行 。
便于理解的解释:第1个物品的体积为1,价值为2。当书包体积 j = 1时, j = v [ i ],可以放入第1个物体,故此时书包的价值为2。当书包体积 j > 1时, j > v [ i ],都可以放入第1个物体,故此时书包的价值仍然为2。第二行填完了。
基于代码的解释:当书包体积 j = 1时,我们考虑是否放入第1个物品:
- 不放入,那么书包的价值 f [1][1] 和 f [0][1]相同。(没放入任何物品,无论书包体积为多少,书包的价值都为0)。
- 放入,那么书包的价值 f [1][1] 就应该看放入第0个物品,书包的体积为1减去第1个物品的体积1时,书包的价值(1 - 1 = 0)。简单来说,现在书包的体积(j = 1)减去第1 个物品的体积 (v [1] = 1)应该等于放入第0个物品时书包的体积(j - v [1] = 1 - 1 = 0)。只有放入第0个物体,书包体积为0时,我才能在书包体积为1时放入第1个物体,否则放不下。
对于这两种情况,我们应该选择最优的方法,也就是比较这两种方法的价值,取最大值。
接下来看放入第2个物品会发生什么变化,也就是完善第三行 。
接下来看放入第3个物品会发生什么变化,也就是完善第四行 。
接下来看放入第3个物品会发生什么变化,也就是完善第四行 。
以上就是动态规划的“01背包”求解过程,大家多模拟几遍肯定会有更多的感悟!
希望大家学有所获!