本文是将文章《GBDT 算法的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

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公式(11-13)是GBDT算法的第一步，它描述了如何初始化模型。公式如下：

$$f_0(x)=\arg \underset{c}{\min }\sum _{i=1}^{N}L(y_i,c)$$

1. 公式(11-13)的意义

公式(11-13)用于初始化GBDT模型的预测值。在GBDT算法中，模型 $f(x)$ 是通过多棵树的组合逐步构建的，而在开始构建任何一棵树之前，我们需要一个初始的预测值 $f_0(x)$。

2. 为什么需要初始化模型

在GBDT的训练过程中，每一轮都会通过一棵新树来“纠正”前面的模型。但是，在第一轮时，我们还没有任何树，所以需要一个初始值。这个初始值 $f_0(x)$ 是模型预测的起点，后续的每棵树都基于它进行优化。

3. 如何确定初始值 $f_0(x)$

公式(11-13)告诉我们，初始预测值 $f_0(x)$ 是通过最小化所有样本的损失函数来确定的。具体来说：

• 这里的 $c$ 是一个常数，表示所有样本统一的初始预测值。
• 我们希望找到一个常数 $c$，使得对于所有样本 $(x_i,y_i)$ 的损失函数之和 ${\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,c)$ 最小。

4. 损失函数 $L(y_i,c)$ 的作用

在GBDT中，损失函数 $L(y,f(x))$ 用于衡量模型预测值 $f(x)$ 与真实值 $y$ 之间的差距。通过最小化损失函数，我们可以得到一个合理的初始预测值。

对于不同的任务，损失函数 $L(y,f(x))$ 会有所不同，因此这个初始值的具体求法也会不同。常见的损失函数包括：

• 平方损失（用于回归任务）：$L(y,f(x))=(y-f(x){)}^2$
• 对数损失（用于二分类任务）：$L(y,f(x))=-[y\log f(x)+(1-y)\log (1-f(x))]$

5. 不同损失函数下的初始值求解

下面我们分别介绍在常见损失函数下，如何求解 $f_0(x)$：

（1）平方损失（用于回归任务）

假设损失函数是平方损失，即：

$$L(y_i,c)=(y_i-c{)}^2$$

此时，公式(11-13)变为：

$$f_0(x)=\arg \underset{c}{\min }\sum _{i=1}^N(y_i-c{)}^2$$

这是一个简单的最小二乘问题。通过求导并让导数等于零，我们可以得出最优的 $c$ 值为所有 $y_i$ 的均值：

$$f_0(x)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{y}_i$$

因此，在平方损失的情况下，GBDT的初始预测值就是所有样本目标值的均值。

（2）对数损失（用于二分类任务）

假设我们要解决一个二分类问题，使用对数损失函数：

$$L(y_i,c)=-[y_i\log c+(1-y_i)\log (1-c)]$$

在这种情况下，公式(11-13)变为：

$$f_0(x)=\arg \underset{c}{\min }\sum _{i=1}^N-[y_i\log c+(1-y_i)\log (1-c)]$$

通过对 $c$ 求解，我们可以得出 $f_0(x)$ 为正类样本的比例（即所有 $y_i$ 的均值），或者等价地，初始预测值是正类概率的对数几率：

$$f_0(x)=\log \frac{{\sum }_{i=1}^N{y}_i}{N-{\sum }_{i=1}^N{y}_i}$$

6. 总结

公式(11-13)的作用是初始化GBDT模型，使得初始预测值 $f_0(x)$ 能够尽量接近真实值，从而为后续的树提供一个合理的起点。通过最小化损失函数之和，我们可以根据不同的损失函数类型选择合适的初始值，例如：

• 回归任务中使用平方损失的均值。
• 分类任务中使用对数损失的对数几率。

这一初始化过程确保了GBDT的模型从一开始就具有一定的预测能力。