一、算法介绍

二分查找，也称为折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。对于包含 n 个元素的有序数组，二分查找的步骤如下：

• 确定搜索范围：首先，将要查找的元素与数组中间的元素进行比较。如果查找的元素等于中间元素，则找到了目标值。否则，如果目标值小于中间元素，则在左半边继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半边继续查找。
• 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为剩余数组的一半，并重复执行步骤 1，直到找到目标值或确定目标值不存在。

二分查找算法的关键优势在于每一步都能将搜索范围减半，这使得算法的时间复杂度为 O(log n)，相比线性搜索算法的 O(n) 更加高效，尤其是对于大型数据集。

二、时间复杂度计算

二分搜索最坏的情况就是折半一直找到最后一个元素，首先观察规律

开始时，是从n个元素中查找

第一次折半时，是从$\frac{n}{2}$个元素中查找

第二次折半时，是从$\frac{n}{4}$个元素中查找

。

。

。

假设第k次折半后只剩一个元素，即是从$\frac{n}{2^k}$个元素中查找

即 $\frac{n}{2^k}$= 1，即 n = $2^k$，由对数定义知道 k = ${\log }_{2}n$，在计算机科学中如果没有特殊说明，默认就是以2为底，即k=$\log n$

即操作k次才能找到最后一个元素，所以时间复杂度为O($\log n$)

三、Java代码示例

package com.datastructures;/*** 二分查找算法的示例代码* @author hulei*/
public class BinarySearchExample {/*** 在有序的整型数组中使用二分查找算法来寻找指定目标值的索引。** @param arr 一个已排序的整型数组。* @param target 要在数组中查找的目标值。* @return 如果目标值存在于数组中，则返回其索引；如果目标值不存在，则返回-1。*/public static int binarySearch(Integer[] arr, int target) {int left = 0; // 初始化左边界为数组的第一个元素的索引int right = arr.length - 1; // 初始化右边界为数组的最后一个元素的索引while (left <= right) { // 当左边界不大于右边界时继续循环int mid = left + (right - left) / 2; // 计算中间位置，避免溢出if (arr[mid] == target) {return mid; // 如果中间位置的元素等于目标值，返回其索引} else if (arr[mid] < target) {left = mid + 1; // 如果中间位置的元素小于目标值，调整左边界} else {right = mid - 1; // 如果中间位置的元素大于目标值，调整右边界}}return -1; // 如果没有找到目标值，返回-1}public static void main(String[] args) {Integer[] sortedArray = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 100, 111, 123};int targetValue = 55;int result = binarySearch(sortedArray, targetValue);if (result != -1) {System.out.println("元素位置索引为: " + result);} else {System.out.println("没有发现目标元素");}}}

代码分析：
该函数是一个实现二分查找的静态函数，其输入参数为一个整型数组 arr 和一个目标值 target，返回目标值在数组中的索引，如果目标值不存在则返回 -1。

• 首先，函数定义了两个指针 left 和 right，分别指向数组的起始位置和末尾位置。
• 然后，通过一个 while 循环，持续查找目标值。在每一次循环中，计算数组中间位置的索引 mid，并将其对应的值与目标值进行比较。
  • 如果中间值等于目标值，则返回 mid，即找到了目标值的索引。
  • 如果中间值小于目标值，说明目标值在当前中间值的右边，则将 left 更新为 mid + 1，缩小查找范围的左边界。
  • 如果中间值大于目标值，说明目标值在当前中间值的左边，则将 right 更新为 mid - 1，缩小查找范围的右边界。
• 该函数的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的长度。

比如我要在以下数组
Integer[] sortedArray = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 100, 111, 123}
中查找目标值为55的元素的索引位置，返回结果为4，即元素55的索引位置为4