【LeetCode】动态规划—95. 不同的二叉搜索树 II（附完整Python/C++代码）

动态规划—95. 不同的二叉搜索树 II

题目描述
前言
基本思路
- 1. 问题定义
- - 二叉搜索树的性质：
- 2. 理解问题和递推关系
- - 递归构造思想：
  - 状态定义：
  - 递推公式：
  - 终止条件：
- 3. 解决方法
- - 递归 + 动态规划方法：
  - 伪代码：
  - 特别注意：
- 4. 进一步优化
- 5. 小总结
Python代码
- - Python代码解释
C++代码
- - C++代码解释
总结

题目描述

在这里插入图片描述

前言

不同的二叉搜索树 II 是一个要求构造出所有可能的 二叉搜索树（BST） 的问题。给定一个整数 n，我们需要构造出由 1 到 n 为节点的所有不同形态的二叉搜索树，并返回这些树的根节点列表。该问题与 不同的二叉搜索树 I 不同的是，不仅要求计算不同二叉搜索树的数量，还需要输出所有可能的二叉搜索树的具体结构。

基本思路

1. 问题定义

给定一个整数 n，构造所有包含 1 到 n 的不同二叉搜索树，并返回这些树的根节点列表。每个二叉搜索树的节点只能使用一次，且必须保持 二叉搜索树 的性质。

二叉搜索树的性质：

左子树的所有节点值都小于根节点值。
右子树的所有节点值都大于根节点值。

2. 理解问题和递推关系

递归构造思想：

我们可以使用递归的方法来构造二叉搜索树。对于任意一个 i，它可以作为根节点，1 到 i-1 组成它的左子树，i+1 到 n 组成它的右子树。递归构造左子树和右子树，并将不同的子树组合起来。

状态定义：

对于区间 [start, end]，构造由该区间组成的所有二叉搜索树。
递归地将每个数字作为根节点，左子树由 [start, i-1] 构造，右子树由 [i+1, end] 构造。
组合所有左子树和右子树，形成不同的二叉搜索树。

递推公式：

对于每个根节点 i，构造左子树 generateTrees(start, i-1) 和右子树 generateTrees(i+1, end)。
将左右子树的所有组合与根节点 i 连接，形成不同的树形结构。

终止条件：

当 start > end 时，返回 None，表示当前区间不能构成任何子树。

3. 解决方法

递归 + 动态规划方法：

定义递归函数 generateTrees(start, end) 来构造 [start, end] 范围内的所有二叉搜索树。
对于每一个 i 作为根节点，递归构造左子树和右子树，并将其组合。
最终返回所有构造的树。

伪代码：

function generateTrees(start, end):if start > end:return [None]all_trees = []for i from start to end:# 构造左子树和右子树left_trees = generateTrees(start, i-1)right_trees = generateTrees(i+1, end)# 组合左右子树与根节点for each left in left_trees:for each right in right_trees:root = new TreeNode(i)root.left = leftroot.right = rightall_trees.append(root)return all_trees

特别注意：

递归调用会确保每个节点 i 都尝试作为根节点，并且分别生成左右子树。最终所有树形结构都被记录在结果列表中。

4. 进一步优化

缓存递归结果：可以用备忘录的方式存储已经计算过的子树组合，避免重复计算，进一步优化效率。

5. 小总结

问题思路：利用递归和分治的思想构造出所有二叉搜索树的结构，确保每个节点都作为一次根节点，并递归构造左右子树。
时间复杂度：时间复杂度较高，因每次递归会构造不同的树形结构，复杂度为 超指数级别。

以上就是不同的二叉搜索树 II问题的基本思路。

Python代码

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:def generateTrees(self, n: int) -> list[TreeNode]:if n == 0:return []# 递归函数，生成从start到end的所有二叉搜索树def generateTrees(start, end):if start > end:return [None]  # 返回一个空树all_trees = []  # 存储所有可能的二叉搜索树for i in range(start, end + 1):# 构造左子树和右子树left_trees = generateTrees(start, i - 1)right_trees = generateTrees(i + 1, end)# 组合所有的左子树和右子树for left in left_trees:for right in right_trees:root = TreeNode(i)  # 以i作为根节点root.left = leftroot.right = rightall_trees.append(root)return all_treesreturn generateTrees(1, n)

Python代码解释

定义递归函数：generateTrees(start, end) 用于生成从 start 到 end 所有不同的二叉搜索树。
递归构造：对于每个 i 作为根节点，递归构造左右子树的所有可能组合。
返回结果：最终返回所有可能的树形结构的根节点列表。

C++代码

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {if (n == 0) return {};// 递归函数，生成从start到end的所有二叉搜索树return generateTrees(1, n);}vector<TreeNode*> generateTrees(int start, int end) {if (start > end) return {nullptr};  // 返回一个空树vector<TreeNode*> all_trees;  // 存储所有可能的二叉搜索树for (int i = start; i <= end; ++i) {// 构造左子树和右子树vector<TreeNode*> left_trees = generateTrees(start, i - 1);vector<TreeNode*> right_trees = generateTrees(i + 1, end);// 组合所有的左子树和右子树for (TreeNode* left : left_trees) {for (TreeNode* right : right_trees) {TreeNode* root = new TreeNode(i);  // 以i作为根节点root->left = left;root->right = right;all_trees.push_back(root);}}}return all_trees;}
};