行列式的计算方法

行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体情况可以采用不同的方法。以下是常用的计算行列式的方法:

一、2×2矩阵的行列式

对于一个2×2的矩阵:
A = ( a b c d ) A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} A=(acbd)

行列式的计算公式为:
det ⁡ ( A ) = a d − b c \det(A) = ad - bc det(A)=adbc

二、3×3矩阵的行列式

对于一个3×3的矩阵:
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33

方法1:Sarrus法则(仅适用于3×3矩阵)

  1. 拓展矩阵:将矩阵的第一列和第二列复制到矩阵的右侧:
    ( a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{blue}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} \end{pmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32

  2. 计算正对角线的乘积和
    P = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 P = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} P=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

  3. 计算反对角线的乘积和
    N = a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 N = a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33} N=a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33

  4. 行列式的值为
    det ⁡ ( A ) = P − N \det(A) = P - N det(A)=PN

方法2:按行(列)展开法

选择一行或一列,利用代数余子式进行展开。例如,对第一行展开:
det ⁡ ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 \det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} det(A)=a11C11+a12C12+a13C13

其中, C i j C_{ij} Cij 是对应的代数余子式:
C i j = ( − 1 ) i + j M i j C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Cij=(1)i+jMij

M i j M_{ij} Mij a i j a_{ij} aij余子式,即删除第 i i i 行和第 j j j 列后剩下的行列式。

三、高阶矩阵的行列式

对于 n × n n \times n n×n 的矩阵,可以使用按行(列)展开法行列变换法

1. 按行(列)展开法(Laplace展开)
  • 步骤

    1. 选择一行或一列(通常选择包含较多零元素的行或列,以简化计算)。
    2. 对该行或列的每个元素,计算其代数余子式。
    3. 将元素与其对应的代数余子式相乘,再求和。
  • 公式(以第 i i i 行展开为例):
    det ⁡ ( A ) = ∑ j = 1 n a i j C i j \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} det(A)=j=1naijCij

2. 行列变换法

通过对矩阵进行初等行(列)变换,将矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵,然后利用以下性质计算行列式:

  • 性质1:如果将两行(列)交换,行列式取相反数。

  • 性质2:如果某一行(列)乘以常数 k k k,行列式也乘以 k k k

  • 性质3:如果在一行(列)中加上另一行(列)的倍数,行列式不变。

  • 性质4:上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。

  • 步骤

    1. 利用初等行变换,将矩阵化为上三角矩阵。
    2. 记录变换过程中对行列式值的影响。
    3. 最终行列式等于对角线元素的乘积,结合变换的影响,得到原矩阵的行列式。

示例

对于矩阵:
A = ( 2 3 1 4 1 − 3 − 1 2 5 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} A= 241312135

通过初等行变换,将其化为上三角矩阵,然后计算行列式。

四、使用矩阵分解法

对于大型矩阵,手工计算行列式非常繁琐,可以借助LU分解等方法,将矩阵分解为易于计算行列式的形式。

  • LU分解:将矩阵 A A A 分解为下三角矩阵 L L L 和上三角矩阵 U U U 的乘积 A = L U A = LU A=LU

  • 行列式的计算
    det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( L ) × det ⁡ ( U ) \det(A) = \det(L) \times \det(U) det(A)=det(L)×det(U)

    由于 L L L U U U 是三角矩阵,其行列式为对角线元素的乘积。

五、行列式的性质简化计算

利用行列式的性质,可以在计算过程中简化步骤:

  • 性质5:如果矩阵有一行或一列全为零,行列式为零。
  • 性质6:如果矩阵的两行(列)相同,行列式为零。
  • 性质7:如果矩阵的某一行(列)是另一行(列)的倍数,行列式为零。

总结

计算行列式的方法多种多样,选择合适的方法可以大大简化计算过程。在手工计算时,通常优先选择含有多个零元素的行或列进行展开,或者利用行列变换将矩阵化为易于计算的形式。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/web/53403.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

nginx upstream转发连接错误情况研究

本次测试用到3台服务器: 192.168.10.115:转发服务器A 192.168.10.209:upstream下服务器1 192.168.10.210:upstream下服务器2 1台客户端:192.168.10.112 服务器A中nginx主要配置如下: log_format main…

linux下共享内存的3种使用方式

进程是资源封装的单位,内存就是进程所封装的资源的一种。一般情况下,进程间的内存是相互隔离的,也就是说一个进程不能访问另一个进程的内存。如果一个进程想要访问另一个进程的内存,那么必须要进过内核这个桥梁,这就是…

研究生第一次刷力扣day1

1.给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target,请你在该数组中找出和为目标值target 的那两个整数,并返回它们的数组下标 直接采用暴力求解,其他解答案看不懂 大致思想:先用len函数求出数组的长度n,然后一个个遍…

基于SpringBoot+Vue+MySQL的医院信息管理系统

系统展示 用户前台界面 管理员后台界面 系统背景 在当今社会,随着医疗服务需求的不断增长和医疗信息化的快速发展,提升医院管理效率和服务质量成为了医疗行业的核心需求。传统的医院管理模式面临着效率低下、资源分配不均、患者就医体验差等问题。为了应…

C++: 两个栈实现队列

解题思路 栈,一个口,先进后出;队列,两个口,先进先出; 两个栈就有两个口,一个当入口,另一个当出口 当stack2为空,将stack1元素push到stack2,再pop stack2 ; 当…

Nginx 跨域 + 无法设置 Cookie 解决办法

今天来分享一下关于项目部署上线时怎么解决跨域问题!!! 首先感谢一下大佬的方法,才让这个困扰我很久的问题得以解决!!! 这也是我请教大佬才解决的问题,大佬和我说,这是他耗费两周才解决的问题,我这也是属于前人栽树后人乘凉了,嘿嘿嘿!!! 前端问题 前端没有携带 cookie 导致后端…

uni-app安装插件

1.通过插件市场安装https://ext.dcloud.net.cn 打开HBuilderX编辑器。 点击菜单栏中的“工具”->“插件安装”。 这里会看到已安装插件和安装新插件两个选项卡,点击安装新插件, 能看到一些核心插件,如果所需要的插件在核心插件里面有&…

Anaconda 安装与使用教程

1. 介绍 Anaconda 是一个用于科学计算的 Python 和 R 的发行版,它包含了众多流行的科学、数学、工程和数据分析包。Anaconda 是完全免费的,并且适用于 Windows、Mac 和 Linux 平台。它不仅是一个发行版,还提供了一个环境管理系统&#xff0c…

1、vectorCast单元测试常用操作

一、自动创建测试工程 1、设置工作目录 进入软件主页面,点击file,选择set working directory,随便选择一个保存该项目的目录即可。 2、创建一个空工程 编译器选择vector自带的编译器,vectorCast MinGW C。 此时项目工程就创建好了 2.1、配置编译器节点 点击编译器节点…

KVM环境下制作ubuntu qcow2格式镜像

如果是Ubuntu KVM环境是VMware虚拟机,需要CPU开启虚拟化 1、配置镜像源 wget -O /etc/apt/sources.list https://www.qingtongqing.cc/ubuntu/sources.list2、安装kvm qemu-img libvirt kvm虚拟化所需环境组件 apt -y install qemu-kvm virt-manager libvirt-da…

【busybox记录】【shell指令】numfmt

目录 内容来源: 【GUN】【numfmt】指令介绍 简介 通用选项 可能的unit 【busybox】【numfmt】指令介绍 【linux】【numfmt】指令介绍 使用示例: 将单个数字 / 转换为人类表示: 从 SI 转换到 IEC 刻度 指定输入和输出刻度后,支持定…

Spring Boot-API网关问题

****### Spring Boot API 网关问题分析与解决方案 在微服务架构中,API 网关扮演着非常重要的角色。它位于客户端和微服务之间,充当所有外部请求的入口,负责请求的路由、聚合、鉴权、限流等功能。Spring Boot 提供了多种方式实现 API 网关&am…

setup.py详解 及 pip install用法

文章目录 1. setup.py 的编写1.1 包的导入1.2 定义包的基本信息1.3 外部扩展定义1.4 指定入口点1.5 setup.py的编译1.6 setup.py 样例2. 案例2.1 bevfusion中 setup.py 讲解2.2 mmdet3d中 setup.py 讲解3. pip install 和 python setup.py install 的使用3.1 python setup.py i…

Redisson 总结

1. 基础使用 1.1 引入依赖 <dependencies><dependency><groupId>org.redisson</groupId><artifactId>redisson-spring-boot-starter</artifactId></dependency> </dependencies>包含的依赖如下 1.2 配置文件 其实默认主机就…

Java基础总结(2)

1.实例方法和静态方法的区别 调用方式不同&#xff1a;静态方法可以通过类名.方法名直接调用&#xff0c;也可以通过当前类的实例对象.方法名来调用&#xff0c;但是实例方法只能通过后者来访问访问类的成员存在限制&#xff1a;在静态方法内部&#xff0c;只能访问类的静态成员…

【计网】从零开始掌握序列化 --- JSON实现协议 + 设计 传输\会话\应用 三层结构

唯有梦想才配让你不安&#xff0c; 唯有行动才能解除你的不安。 --- 卢思浩 --- 从零开始掌握序列化 1 知识回顾2 序列化与编写协议2.1 使用Json进行序列化2.2 编写协议 3 封装IOService4 应用层 --- 网络计算器5 总结 1 知识回顾 上一篇文章我们讲解了协议的本质是双方能够…

WPF DataGrid 单元格居中,头部居中,点击行改变背景色。

我得全局样式都写在了App.XAML文件下的ResourceDictionary里&#xff0c;方便全局引用 DataGrid样式和点击改变行背景色的触发器(BasedOn继承的是UI框架的样式&#xff0c;若无则删除&#xff0c;触发器还有鼠标移动事件等&#xff0c;按需自行修改添加) <Style x:Key&quo…

安卓13长按电源按键直接关机 andriod13不显示关机对话框直接关机

总纲 android13 rom 开发总纲说明 文章目录 1.前言2.问题分析3.代码分析4.代码修改5.编译6.彩蛋1.前言 有些设备需要在长按电源键的时候,直接关机。不需要弹出对话框进行询问。 2.问题分析 过滤电源按键,需要在系统里面处理的话,那么我们需要熟悉android的事件分发,然后再…

Golang | Leetcode Golang题解之第420题强密码检验器

题目&#xff1a; 题解&#xff1a; func strongPasswordChecker(password string) int {hasLower, hasUpper, hasDigit : 0, 0, 0for _, ch : range password {if unicode.IsLower(ch) {hasLower 1} else if unicode.IsUpper(ch) {hasUpper 1} else if unicode.IsDigit(ch)…

【2025】儿童疫苗接种预约小程序(源码+文档+解答)

博主介绍&#xff1a; ✌我是阿龙&#xff0c;一名专注于Java技术领域的程序员&#xff0c;全网拥有10W粉丝。作为CSDN特邀作者、博客专家、新星计划导师&#xff0c;我在计算机毕业设计开发方面积累了丰富的经验。同时&#xff0c;我也是掘金、华为云、阿里云、InfoQ等平台…