量子状态的系统

假设一个量子系统以概率$p_i$处于多个状态$|{\psi }_i⟩$之一. 我们把 { p i , ∣ ψ ⟩ } \{p_i,|\psi\rangle\} {pi​,∣ψ⟩}称为一个纯态系综(ensemble of pure states). 系统的密度算子定义为
$$\rho \equiv \sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$
密度算子通常称为密度矩阵. 密度矩阵是对系统状态的完整描述，它的对角元素${\rho }_{ii}$表示系统处于纯态$|i⟩$的概率，这些值也是0到1之间的实数。密度矩阵非对角元素则包含了关于量子叠加的信息。
维基对系综的解释:
在统计物理中，系综（英语：ensemble）代表一定条件下一个体系的大量可能状态的集合。也就是说，系综是系统状态的一个概率分布。对一相同性质的体系，其微观状态（比如每个粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。（实际上，对于一个宏观体系，所有可能的微观状态数是天文数字。）在概率论和数理统计的文献中，使用“概率空间”指代相同的概念。

密度算子的特征

定理: 算子$\rho$是与某系综 { p i , ∣ ψ ⟩ } \{p_i,|\psi\rangle\} {pi​,∣ψ⟩}相关的密度算子,当且仅当它满足下列条件:

1. (迹条件) $\rho$的迹等于1
2. (半正定条件) $\rho$是一个半正定算子

量子态

在量子力学中，量子系统的状态可以用纯态（pure state）和混态（mixed state）来描述。

纯态

定义： 纯态是完全量子力学信息的描述，可以表示为希尔伯特空间中的一个向量（或称为量子态向量）, 通常称为量子态向量，用一个波函数来描述, 记作 |ψ⟩。
表示： 纯态可以用密度矩阵表示，密度矩阵是对称的，并且满足 ρ = |ψ⟩⟨ψ|，其中 ρ 是密度矩阵，|ψ⟩ 是纯态向量。

混合态

定义： 混态是对一个不完全已知量子系统的状态的描述。它表示系统处于多个纯态的统计混合，而不是一个确定的量子态。混态不能用一个单一的波函数来描述，而是用密度矩阵来描述。密度矩阵是对系统状态的完整描述.
表示： 混态同样可以用密度矩阵来表示，但这个密度矩阵不能表示为任何纯态的投影，即不存在一个 |ψ⟩ 使得 ρ = |ψ⟩⟨ψ|。

纯态判别

纯态$|\psi ⟩$的密度算子可以用 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$表示. 且纯态满足$tr({\rho }^2)=1$, ${\rho }^2=\rho$. 叫法上,纯态常用于指状态向量$|\psi ⟩$,以区别于密度算子$\rho$.
像一个叠加态
$$|\psi ⟩=c_1|a⟩+c_2|b⟩$$
其中$c_1^2+c_2^2=1$,$|\psi ⟩$还是一个纯态

1. 比如$|\psi ⟩=\frac{1}{2}|0⟩+\frac{\sqrt{3}}{2}|1⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$
   $\rho =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{\sqrt{3}}{4}\\ \frac{\sqrt{3}}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right]$, 满足$tr(\rho )=1$
   ${\rho }^2=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{16}& \frac{4\sqrt{3}}{16}\\ \frac{4\sqrt{3}}{16}& \frac{12}{16},\end{array}\right]$ 满足${\rho }^2=\rho$, $tr({\rho }^2)=1$

2. 比如$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}}{2}|0⟩+\frac{\sqrt{2}}{2}|1⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$
   $\rho =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 满足$tr(\rho )=1$
   ${\rho }^2=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ 满足${\rho }^2=\rho$, $tr({\rho }^2)=1$

混合态判别

只能用密度算子$\rho$表示. 且混态满足$tr({\rho }^2)<1$, ${\rho }^2\ne \rho$
$$\rho =p_1|{\varphi }_1⟩⟨{\varphi }_1|+p_2|{\varphi }_2⟩⟨{\varphi }_2|+\cdots +p_n|{\varphi }_n⟩⟨{\varphi }_n|$$
其中, $p_1,p_2,\cdots ,p_n$是各个纯态$|{\varphi }_1⟩,|{\varphi }_2⟩,\cdots ,|{\varphi }_n⟩$出现的概率. 满足$p_1+p_2+\cdots +p_n=1$.
假设$\rho =\frac{1}{2}|0⟩⟨0|+\frac{1}{2}|1⟩⟨1|=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$. 满足$tr(\rho )=1$
但是
${\rho }^2=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]\ne \rho$, $tr({\rho }^2)=\frac{1}{2}<1$

所以, $\rho =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{\sqrt{3}}{4}\\ \frac{\sqrt{3}}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right]$是纯态, $\rho =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$是混态.