3.4、图

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图的介绍

图也是一种非线性结构，图中任意两个节点间都可能有直接关系。相关定义如下：

无向图：图的结点之间连接线是没有箭头的，不分方向。
有向图：图的结点之间连接线是箭头，区分A到B,和B到A是两条线。
完全图：无向完全图中，节点两两之间都有连线，n个结点的连线数为(n-1)+(n-2)+…+1=n*(n-1)/2;有向完全图中，节点两两之间都有互通的两个箭头，n个节点的连线数为n*(n-1)。
度、出度和入度：顶点的度是关联与该顶点的边的数目。在有向图中，顶点的度为出度和入度之和。出度是以该顶点为起点的有向边的数目。入度是以该顶点为终点的有向边的数目。
路径：存在一条通路，可以从一个顶点到达另一个顶点，有向图的路径也是有方向的。
连通图和连通分量：针对无向图。若从顶点v到顶点u之间是有路径的，则说明v和u之间是连通的，若无向图中任意两个顶点之间都是连通的，则称为连通图。
强连通图的强连通分量：针对有向图。若有向图任意两个顶点间都相互存在路径，则称为强连通图。有向图中的极大联通子图称为其强联通分量。
网：边带权值的图称为网。

连通图和连通分量、强连通图的强连通分量和网了解即可

图的存储

邻接矩阵

使用二维数组来表示图中节点之间的连接关系。

第行和第列的元素表示节点和节点之间是否有连接。
空间复杂度较高，但查找连接关系效率高。
当图较密集时，邻接矩阵更好

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邻接链表

用到了两个数据结构，先用一个一维数组将图中所有顶点存储起来，而后，对此一维数组的每个顶点元素，使用链表挂上和其有连线关系的结点的编号和权值，示例如下图所示：
空间复杂度较低，增加节点效率高，但查找连接关系效率低，当图较稀疏时，邻接链表更好
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练习题

【2013年】从存储空间的利用率角度来看，以下关于数据结构中图的存储的叙述中，正确的是()
A.有向图适合采用邻接矩阵存储，无向图适合采用邻接表存储
B.无向图适合采用邻接矩阵存储，有向图适合采用邻接表存储
C.完全图适合采用邻接矩阵存储
D.完全图适合采用邻接表存储

答案：C

图的遍历

图的遍历是指从图的任意节点出发，沿着某条搜索路径对图中所有节点进行访问且只访问一次，分为以下两种方式：

深度优先遍历：从任一顶点出发，遍历到底，直至返回，再选取任一其他节点出发，重复这个过程直至遍历完整个图；
从上到下线遍历
广度优先遍历：先访问完一个顶点的所有邻接顶点，而后再依次访问其邻接顶点的所有邻接顶点，类似于层次遍历。
从左到右遍历

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最小生成树

很容易出现题目
假设有n个节点，那么这个图的最小生成树有-1条边（不会形成环路，是树非图）
,这n-1条边会将所有顶点都连接成一个树，并且这些边的权值之和最小，因此称为最小生成树。

普里姆算法(Prim):从任意顶点出发，找出与其邻接的边权值最小的，此时此边的另外一个顶点自动加入树集合中，而后再从这这个树集合的所有顶点中找出与其邻接的边权值最小的，同样此边的另外一个顶点加入树集合中，依次递归，直至图中所有顶点都加入树集合中，此时此树就是该图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法(Kruscal,推荐)：这个算法是从边出发的，因为本质是选取权值最小的-1条边，因此，就将边按权值大小排序，依次选取权值最小的边，直至囊括所有节点，要注意，每次选边后要检查不能形成环路。

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上图使用克鲁斯卡尔算法
1、先画节点A B C D E F
2、计算边：6-1=5
3、依次取最小权值
4、如果最后两个权值一样，例如图中B和F，以及C和D权值都是300，但是B和F相连会导致环路，所以选择C和D

这两种算法都是局部最优原则，所以都是贪心法算法，并且没有谁的效率高
谁的效率差，因为克鲁斯卡尔算法是数边的，所以边越多，它算起来越麻烦

练习题

【2014年】Prim算法和Kruscal算法都是无向连通网的最小生成树的算法，Prim算法从一个顶点开始每次从剩余的顶点中加入一个顶点，该顶点与当前的生成树中的顶点的连边权重最小，直到得到一颗最小生成树；Kruscal算法从权重最小的边开始，每次从不在当前的生成树顶点中选择权重最小的边加入，直到得到一颗最小生成树，这两个算法都采用了
A.分治
B贪心
C动态规划
D.回溯

A.若网较稠密，则Prim算法更好
B.两个算法得到的最小生成树是一样的
C.Prim算法比Kruscal算法效率更高
D.Kruscal算法比Prim算法效率更高