哈希表基础

哈希的概念

哈希表（Hash Table），也称为散列表，是一种通过哈希函数将键值（Key） 映射到对应位置（Bucket） 的数据结构。哈希表使用一个数组来存储数据，通过哈希函数计算出键值的索引，插入、查找和删除操作的时间复杂度可以接近$O(1)$。

unordered系列的关联式容器之所以效率比较高，是因为其底层使用了哈希结构。

哈希表的基本操作

当向哈希表的结构中：

• 插入元素。
  根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放。
• 搜索元素
  对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置
  取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表(HashTable)(或者称散列表)

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例如：数据集合{1，7，6，4，5，9}；
哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity为存储元素底层空间总的大小。

用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较，因此搜索的速度比较快
问题：按照上述哈希方式，向集合中插入元素44，会出现什么问题？

哈希冲突

哈希冲突的定义

哈希冲突（Hash Collision） 是指两个或多个不同的键通过哈希函数映射到同一个位置。当哈希表发生冲突时，需要使用某种机制来解决冲突，确保所有键值对能够正确存储和查找。

哈希冲突的影响

哈希冲突会导致数据存储位置重叠，增加查找时间，降低哈希表的整体性能。频繁的冲突会使哈希表的操作复杂度从$O(1)$恶化为$O(n)$，影响系统性能。

常见的哈希冲突的解决方法

1. 开放地址法
开放地址法通过探测空闲位置来解决冲突。常见的探测方法有：

下面讲重点讲解线性探测，二次探测和分离链接法。

 线性探测（Linear Probing）

• 发生冲突时，从当前位置开始，逐个检查后续位置，直到找到空位为止。
• 优点：实现简单。
• 缺点：可能导致“堆积”现象，即冲突连续发生。

比如上述中的场景，现在需要插入元素44，先通过哈希函数计算哈希地址，hashAddr为4，
因此44理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为4的元素，即发生哈希冲突。

线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

• 插入

  • 通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置
  • 如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素
    

• 删除

  • 采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索素。 比如删除元素4，如果直接删除掉，44查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。

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 二次探测（Quadratic Probing）

• 发生冲突时，从当前位置开始，以二次方为步长逐个检查后续位置（例如，1^2, 2^2, 3^2,…），直到找到空位为止。
• 优点：减少线性探测中的堆积现象。
• 缺点：需要处理哈希表大小和步长选择的问题。

二次探测

 线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：$H_i$ =($H_0$ + $i^2$ )% m, 或者： $H_i$ = ($H_O$ - $i^2$ )% m。其中: i =1,2,3.，$H_o$是通过散列函数Hash(x)对元素的关键码key进行计算得到的位置，m是表的大小。对于上述中如果要插入44，产生冲突，使用解决后的情况为:

  研究表明：当表的长度为质数且表装载因子a不超过0.5时，新的表项一定能够插入，而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在搜素时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子a不超过0.5，如果超出必须考虑增容。

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 双重哈希（Double Hashing）

• 发生冲突时，使用第二个哈希函数计算新的步长，从当前位置开始探测空闲位置。
• 优点：进一步减少冲突聚集。
• 缺点：需要设计两个有效的哈希函数。

2. 链地址法
链地址法通过在每个哈希表位置存储一个链表来解决冲突。

 分离链接（Separate Chaining）

• 分离链接法通过将每个哈希表槽位维护一个链表来处理冲突。
• 每个哈希表槽位存储一个链表，所有冲突的元素都插入该链表中。
• 优点：简单易实现，动态调整链表长度。
• 缺点：在最坏情况下（所有元素都落在同一个桶中），查找时间复杂度退化为$O(n)$。

 自适应链表（Adaptive Chaining）

• 根据链表长度和冲突情况，动态调整存储结构，例如在链表长度较长时将其转换为红黑树。
• 优点：在链表较短时保持简单性，在链表较长时提高查找效率。
• 缺点：实现较为复杂，需要维护多种数据结构。

哈希函数

哈希函数的定义

 哈希函数的定义
 哈希函数（Hash Function）是将键值转换为哈希值的函数。哈希值用于确定键值在哈希表中的存储位置。一个好的哈希函数能均匀分布键，减少冲突，提高哈希表的性能。

哈希函数的设计原则

• 均匀分布：哈希值应均匀分布在整个哈希表，避免冲突集中在某些位置。
• 快速计算：哈希函数应高效计算，减少额外开销，提高性能。
• 最小冲突：尽量避免相同哈希值的情况，使不同的键尽量映射到不同的位置。

常见的哈希函数

1. 除留余数法 (Modulo Division Method)
 解释：除留余数法是最简单和常用的哈希函数之一。它通过将键除以哈希表的大小并取余数来生成哈希值。这样生成的哈希值会在0到表大小-1的范围内，适合直接作为哈希表的索引。

优点：
 实现简单，计算快速。
缺点：
 如果键的分布不均匀，可能导致冲突较多。
C++代码

int modHash(int key, int table_size) 
{return key % table_size;
}

2. 平方取中法 (Mid-Square Method)
 解释：平方取中法是将键值平方，然后取中间几位作为哈希值。这样做的优点是可以通过平方操作增加哈希值的复杂性，从而使得哈希值更均匀地分布。

优点：
 中间位数的选择可以减少键值的偏差，减少冲突。
缺点：
 适用于键值长度较短的情况。
C++代码：

int midSquareHash(int key, int table_size) 
{int squared = key * key;// 假设key是一个4位数，取中间2位int mid_digits = (squared / 100) % 100;return mid_digits % table_size;
}

3. 直接定址法 (Direct Addressing Method)
 解释：直接定址法将键值直接映射到哈希表的索引上，适用于键值范围较小且较为密集的情况。键值直接作为索引使用，不需要额外计算。

优点：
 查找、插入和删除操作的时间复杂度都是O(1)。
 实现非常简单。
缺点：
 需要保证键值的范围在哈希表大小之内，否则会导致索引越界。
 键值范围大且稀疏时会浪费内存。
C++代码：

int multiplicativeHash(int key, int table_size) 
{double A = 0.618033;  // (sqrt(5) - 1) / 2 的值double frac = key * A - int(key * A);return int(table_size * frac);
}

unordered系列关联式容器

 unordered系列关联式容器 包含 unordered_map和 unordered_set，在C++98中，STL提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器，在查询时效率可达到$lo{g}_{2}N$，即最差情况下需要比较红黑树的高度次，当树中的节点非常多时，查询效率也不理想。最好的查询是，进行很少的比较次数就能够将元素找到，因此在C++11中，STL又提供了4个unordered系列的关联式容器，这四个容器与红黑树结构的关联式容器使用方式基本类似，只是其底层结构不同。

unordered_map/unordered_set 和 map/set 的区别：

特性	map/set	unordered_map/unordered_set
内部实现	红黑树（自平衡二叉搜索树）	哈希表
元素顺序	有序（按键值排序）	无序（按哈希值存储）
时间复杂度	O(log n)	平均 O(1)，最坏 O(n)
迭代顺序	按键值顺序	无固定顺序
内存占用	较高（存储节点信息）	较低（可能有冲突链表开销）
使用场景	需要有序存储和范围查询	需要快速查找、插入和删除

简要总结

• map 和 set：适用于需要保持元素有序的场景，例如有序字典、按键值范围查询。
• unordered_map 和 unordered_set：适用于需要快速查找、插入和删除的场景，且对元素顺序没有要求。

unordered_map/unordered_set 的接口可以查询cplusplus.com使用用法与之前介绍的相似。

hash模拟

开放地址法hash

#pragma once
#include <vector>template<class K>
struct HashFunc
{size_t operator()(const K& key){return (size_t)key;}
};//特化
template<>
struct HashFunc<string>
{size_t operator()(const string& key){size_t hash = 0;for (auto ch : key){hash *= 131;hash += ch;}return hash;}
};namespace open_address
{enum State{EMPTY,EXIST,DELETE};template<class K, class V>struct HashData{pair<K, V> _kv;State _state = EMPTY;};struct StringHashFunc{size_t operator()(const string& k){size_t hash = 0;for (auto& e : k){hash *= 131;hash += e;}return hash;}};template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{public:HashTable(){_tables.resize(10);}bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (Find(kv.first))return false;//扩容if (_n * 10 / _tables.size() >= 7){HashTable<K, V, Hash> newHT;newHT._tables.reserve(_tables.size() * 2);//旧表插入到新表for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){if (_tables[i]._state == EXIST){newHT.Insert(_tables[i]._kv);}}_tables.swap(newHT._tables);}Hash hs;size_t hashi = hs(kv.first) % _tables.size();//线性探测while (_tables[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= _tables.size();}_tables[hashi]._kv = kv;_tables[hashi]._state = EXIST;_n++;return true;}HashData<K, V>* Find(const K& k){Hash hs;size_t hashi = hs(k) % _tables.size();//线性探测while (_tables[hashi]._state != EMPTY){if (_tables[hashi]._state == EXIST && _tables[hashi]._kv.first == k){return &_tables[hashi];}hashi++;hashi %= _tables.size();}return nullptr;}bool Erase(const K& k){HashData<K, V>* ret = Find(k);if (ret == nullptr){return false;}else{ret->_state = DELETE;_n--;return true;}}private:vector<HashData<K, V>> _tables;size_t _n = 0;		//有效数据个数};