数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula

数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula

0. 前言

完整内容同步发表于 https://blog.csdn.net/Mr_Azz/article/details/135443217

由于证明量过于巨大,部分证明简化,详情请见网址。

1. 思考

我们学习过一元二次方程的求根公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac ,思考是否存在一元三次方程的求根公式,便展开讨论。

补充 ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω2+ω+1=0 ω 3 = 1 \omega^3=1 ω3=1,将 ω \omega ω 称为 1 1 1 的三次单位根。

2. 证明 卡尔丹公式证明

设一元三次方程 a y 3 + b y 2 + c y + d = 0 ( 1 ) ay^3+by^2+cy+d=0~~(1) ay3+by2+cy+d=0  (1)

y = x − b 3 a y=x-\frac{b}{3a} y=x3ab,代入得: x 3 − b 2 − 3 a c 3 a 2 x + a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 = 0 ( 2 ) x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2) x33a2b23acx+27a3ab39bc+27a2d=0  (2)

p = b 2 − 3 a c 3 a 2 , q = a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 p=\frac{b^2-3ac}{3a^2},q=\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3} p=3a2b23acq=27a3ab39bc+27a2d,则 x 3 − p x + q = 0 ( 3 ) x^3-px+q=0~~(3) x3px+q=0  (3)

x = u + v x=u+v x=u+v,代入至 (3) 式得: u 3 + v 3 + ( 3 u v − p ) ( u + v ) + q = 0 ( 4 ) u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0~~(4) u3+v3+(3uvp)(u+v)+q=0  (4)

3 u v − p = 0 3uv-p=0 3uvp=0 u v = p 3 uv=\frac{p}{3} uv=3p,代入 (4) 式得: u 3 + v 3 = − q ( 5 ) u^3+v^3=-q~~(5) u3+v3=q  (5)

∴ u 3 × v 3 = p 3 27 ( 6 ) \therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}~~(6) u3×v3=27p3  (6)
联立 ( 5 ) 和 ( 6 ) 式得 : { u 3 + v 3 = − q u 3 × v 3 = − q 3 27 即 { u 3 = − q 2 + q 2 4 − p 3 27 v 3 = − q 2 − q 2 4 − p 3 27 联立 (5) 和 (6)式得: \left\{ \begin{matrix} u^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\\ \end{matrix} \right. ~~即 \left\{ \begin{matrix} u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 联立(5)(6)式得:{u3+v3=qu3×v3=27q3   u3=2q+4q227p3 v3=2q4q227p3                                                               

$$
\therefore u=\left{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q2}{4}-\frac{p3}{27}}}~~~~~~~ \
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q2}{4}-\frac{p3}{27}}}·\omega~~\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q2}{4}-\frac{p3}{27}}}·\omega^2\
\end{matrix}
\right.

v=\left\{
\begin{matrix}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~  \\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega~~\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\\end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$$$\because uv=\frac{p}{3}$$$
\therefore x=\left\{
\begin{matrix}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~~~~~~\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\\end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$$### 3. 总结一元二次方程有自己的判别式,其实在一元三次方程中也有自己的判别式:$\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$| 条件                          | 情况                                 |
| ----------------------------- | ------------------------------------ |
| $\Delta>0$                    | **方程有一个实根和一对共轭虚根**     |
| $\Delta=0$ **且** $pq \neq 0$ | **方程有一个两重实根和一个单重实根** |
| $\Delta<0$                    | **方程有三个互异实根**               |
| $p=q=0$                       | **方程有一个三重实根**               |

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/web/4976.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

05.Vue2.x 数据代理

文章目录 Vue中的数据代理 Vue中的数据代理 !<!DOCTYPE html> <html lang"en"><head><meta charset"UTF-8" /><meta name"viewport" content"widthdevice-width, initial-scale1.0" /><title>数…

Linux——web建立wordpress

下载 [rootnfs-server ~]# yum install php wget https://wordpress.org/latest.tar.gz解压 /var/www/html [rootnfs-server html]# tar -xzvf latest.tar.gz [rootnfs-server html]# rm latest.tar.gz授权 [rootnfs-server html]# chown -R www:www /var/www/html添加文件备…

利用kimi等大模型进行运维参数解析和调优

在运维时&#xff0c;经常遇到很多参数&#xff0c;有些参数不知道意义&#xff0c;知道意义的也有些不知道合理参考值是多少。利用kimi等大模型来当老司机&#xff0c;轻松解决运维难题。 例如在运维hive参数时&#xff0c;有些不知道作用&#xff0c;提示次如下 你的角色是…

windows ubuntu sed,awk,grep篇:7.sed 多行模式及循环

目录 46.读取下一行数据并附加到模式空间(命令 N) 47.打印多行模式中的第一行(命令 P) 48. 删除多行模式中的第一行(命令 D) 49.循环和分支(命令 b 和 :label 标签) 50.使用命令 t 进行循环 Sed 默认每次只处理一行数据&#xff0c;除非使用 H,G 或者 N 等命令创建多行模式&…

python学习笔记B-11:序列结构之列表--二维列表的遍历和生成式

二维列表的遍历方式&#xff0c;使用双层for循环&#xff0c;遍历索引号。 二维列表的生成式&#xff0c;也是使用类似双层循环的形式生成。 print("##初始化二维列表&#xff0c;每个元素就是1个列表") lst [["东方延续","太空军自然选择号舰长&qu…

释放Stable Diffusion 无限可能

最近在整理大语言模型的系列内容&#xff0c;Stable Diffusion 是我下一篇博客的主题。关注 Stable Diffusion&#xff0c;是因为它是目前最受欢迎和影响力最大的多模态生成模型之一。Stable Diffusion 于 2022 年 8 月发布&#xff0c;主要用于根据文本的描述产生详细图像&…

android 判断文件是否存在

在 Android 中&#xff0c;你可以使用 java.io.File 类来判断一个文件是否存在。下面是一个简单的示例代码&#xff1a; import java.io.File; public class FileChecker { public static boolean isFileExist(String filePath) { File file new File(fi…

基于SpringBoot+Vue笔记记录分享网站设计与实现

项目介绍&#xff1a; 信息数据从传统到当代&#xff0c;是一直在变革当中&#xff0c;突如其来的互联网让传统的信息管理看到了革命性的曙光&#xff0c;因为传统信息管理从时效性&#xff0c;还是安全性&#xff0c;还是可操作性等各个方面来讲&#xff0c;遇到了互联网时代…

uniApp设置和清除定时器

首先是在data中定义一个变量&#xff0c;用来存放定时器 data() {return {timer: null,} } 在适当的地方创建定时器 this.timer setInterval(() > {console.log(111); }, 10000) 在onHide或者是onUnload中销毁定时器&#xff0c;一般来说tabbar页面的切换会触发onHide&…

C语言 | Leetcode C语言题解之第50题Pow(x,n)

题目&#xff1a; 题解&#xff1a; double myPow(double x, int n){if(n 0 || x 1){return 1;}if(n < 0){return 1/(x*myPow(x,-(n1)));}if(n % 2 0){return myPow(x*x,n/2);}else{return x*myPow(x*x,(n - 1)/2);} }

【Jenkins】持续集成与交付 (三):有关报错解决(Jenkins (2.387.3) or higher required)

🟣【Jenkins】持续集成与交付 (三):有关报错解决Jenkins (2.387.3) or higher required 一、Jenkins主页报错二、安装Jenkins插件报错三、解决过程(解压替换jenkins.war)四、重新访问登录💖The Begin💖点点关注,收藏不迷路💖 一、Jenkins主页报错 New version …

Git Submodule 全流程使用指南

Git Submodule 是 Git 中用于管理子项目的强大功能。它允许我们将一个 Git 仓库作为另一个 Git 仓库的子模块进行管理&#xff0c;从而使项目结构更加清晰&#xff0c;代码维护更加方便。 本指南将详细讲解 Git Submodule 的创建、规划、更新、合并全流程的使用过程和操作步骤…

每天一个数据分析题(二百八十二)

积分表result中有A B C D四列&#xff0c;要求&#xff1a;1&#xff09;当A列值大于等于B列时&#xff0c;选择A列否则选择B列 2&#xff09;当C列值大于等于D列时&#xff0c;选择C列否则选择D列 用SQL语句实现正确的是&#xff1a;&#xff08; &#xff09; A. select ( w…

吴恩达2022机器学习专项课程(一)7.2 逻辑回归的简化成本函数

问题预览/关键词 本节课内容逻辑回归的损失函数简化之后的形式是&#xff1f;为什么可以简化&#xff1f;成本函数的通用形式是&#xff1f;逻辑回归成本函数的最终形式是&#xff1f;逻辑回归为什么用对数损失函数计算成本函数&#xff1f;为什么不直接给出逻辑回归损失函数的…

[详解]Spring AOP

&#x1f3a5; 个人主页&#xff1a;Dikz12&#x1f525;个人专栏&#xff1a;Spring学习之路&#x1f4d5;格言&#xff1a;吾愚多不敏&#xff0c;而愿加学欢迎大家&#x1f44d;点赞✍评论⭐收藏 目录 什么是AOP? Spring AOP 快速入门 Spring AOP核心概念 切点(Point…

selenium 4.x入门篇(环境搭建、八大元素定位)

背景 Web自动化测现状 1. 属于 E2E 测试 2. 过去通过点点点 3. 好的测试&#xff0c;还需要记录、调试网页的细节 一、selenium4.x环境搭建 一键搭建 pip3 install webdriver-helper 安装后自动的完成&#xff1a; 1. 查看浏览器的版本号 2. 查询操作系统的类型…

【智能优化算法】蚱蜢优化算法(Grasshopper Optimization Algorithm,GOA)

蚱蜢优化算法(Grasshopper Optimization Algorithm&#xff0c;GOA)是期刊“IEEE Access”&#xff08;IF 3.9&#xff09;的2021年智能优化算法 01.引言 蚱蜢优化算法(Grasshopper optimization algorithm, GOA)&#xff0c;并将其应用于结构优化中的挑战性问题。该算法在数学…

安卓手机APP开发__媒体开发部分__APK裁剪

安卓手机APP开发__媒体开发部分__APK裁剪 目录 概述 仅使用必要的依赖 启用代码和资源的裁剪 指定你的APP需要哪一个渲染器 指定你的APP需要哪个抽取器 定制媒体源的实例化 概述 最小化APK的大小是开发一个好的安卓APP的一个重要的方面.当面向的是正在开发 的市场时更是…

Linux的docker基础知识

centOS7安装 yum install docker -y systemctl start docker systemctl enable dockerkali安装 # 添加docker的gpg密钥&#xff0c;签名用的 curl -fsSL https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/docker-ce/linux/debian/gpg | sudo apt-key add -# 添加docker的清华大学apt镜像…

Microsoft Edge浏览器:高效、简洁、个性化的网页浏览体验

Microsoft Edge是微软公司推出的一款网络浏览器&#xff0c;它是基于Chromium开源项目开发的&#xff0c;因此与Google Chrome有很多相似之处。以下是一些使用Microsoft Edge的心得体会&#xff1a; 1. 界面简洁&#xff1a;Microsoft Edge的界面设计非常简洁&#xff0c;用户…